东南大学 线性代数 第四章 n维向量3.pptVIP

* 对于阶梯阵的行向量组，零行的出现是因为原来的行可由其他行线性表示，通过初等行变换，才将其化为零行；非零行显然是线性无关的，因此，非零行就构成了行向量组的极大无关组。对于列向量组，显然主列是它的列向量组的极大无关组。而主列的列数是由主元的个数及非零行的行数来确定的，所以，列秩等于行秩等于矩阵的秩。 * 几何与代数 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 教学内容和学时分配 第四章 n维向量 教 学 内 容 学时数 §4.1 n维向量空间 2 §4.2 向量组的线性相关性 4 §4.3 子空间的基和维数 2 §4.4 向量的内积 2 §4.5 线性方程组的解的结构 2 §4.7 用Matlab解题 1 ?x1?1+x2?2+…+xs?s= ?只在x1=x2=…=xs=0时成立. ?(?1,…,?s)x=? 只有零解. ? (?1,…,?s)x=Ax=? 有非零解 向量组?1,…,?s-1,?s线性相关 向量组?1,…,?s-1,?s 线性无关 ? r(A) s ? r(A) = s =向量个数 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 ? ? 某个向量?i可由其余的向量线性表示. 共线共面的推广 唯一表示定理: I l.i.,{I,?}l.d.??可由I 唯一线性表示. Th4.3 大向量组由小向量组线性表示?大向量组l.d. Cor4.1 若I可由II线性表示, I线性无关? t ? s. Cor4.2 若I与II等价, 且都线性无关? t = s. 第四章 n 维 向 量 §4.2 向量组的线性相关性 二. 向量组的极大无关组和秩 三. 向量组的秩与矩阵的秩 一. 线性相关与线性无关 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 设向量组I: ?1, ?2, ?3, ?4, ?5线性相关. 比如?4能由其余的线性表示 设?1, ?2, ?3, ?5线性相关 去掉?1仍与I等价 设?2, ?3, ?5线性无关 去掉?4仍与I等价 比如?1能由其余的线性表示 二. 向量组的极大无关组和秩 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 问题：能否找到一个尽可能小的子集来代表 I 呢？ 等价 一个不能少 代表：含有向量最多的线性无关的向量组 “最多”的衡量：将其他任意一个向量加进来就 变成线性相关的了 二. 向量组的极大无关组和秩 定义1 部分组I0? I为I的一个极大(线性)无关组, 如果 (i) 向量组I0是线性无关的; (ii) I中任一向量都可由I0线性表示. 如果 (i) 向量组I0是线性无关的; (ii) ???I\I0, {I0, ?}都线性相关. 定义2 部分组I0? I为I的一个极大(线性)无关组, 例5. 求 的极大无关组. 解: I0 = {?1, ?2} 或者{?2, ?3} 或者{?1, ?3} 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 二. 向量组的极大无关组 定义1 部分组I0? I为I的一个极大(线性)无关组, ? (ii) I中任一向量都可由I0线性表示. 如果 (i) 向量组I0是线性无关的; (ii) ???I\I0, {I0, ?}都线性相关. 注1: 向量组的极大无关组不是唯一的. 注2: 任意极大无关组都与原向量组等价. 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 定理4.4 向量组的任意两个极大无关组 含有相同个数的向量. 注3: 任意两个极大无关组都等价. 极大无关组I0中向量的个数称为向量组I 的秩. 记为秩(I)或r(I). 注1: 定义3 注2: 注3:在几何空间中， 注4: 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 共面但不共线 共线且非零向量 例6. 已知?1,?2,?3线性无关，求向量组?1= ?1??2, ?2= ?2 ??3, ?3= ?3??1的一个极大无关组. 解: ?1 +?2 + ?3 = ?1??2 +?2 ??3+ ?3??1=? ? ?1 , ?2 , ?3线性相关 ? r(?1 , ?2 , ?3) 3 下证?2= ?2 ??3, ?3= ?3??1线性无关. 设 k2 ?2+ k3 ?3 = ?. 则 k2?2 +(k3?k2)?3 ? k3?1 = ?. 因为?1,?2,?3线性无关 ?k2 = k3 = 0 ? ?2, ?3为一个极大无关组. 第四章 n维向量 §4.2 线性组的线性相关性 ? 第四章 n维向量 §4.2 向量