§5.1数理统计的基础知识.pptVIP

* * * * 数理统计学是研究大量随机现象规律性的一门数学学科. 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议. 第五章 数理统计的基础知识 　 概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的重要应用. 但它们是并列的两个学科，并无从属关系 . 在数理统计中必然要用到概率论的理论和方法. 因为随机抽样的结果带有随机性，不能不把它当作随机现象来处理 .　 由此也可以说， 本章重点介绍数理统计的一些基本概念和常用统计量的分布. 一个统计问题总有它明确的研究对象. 一、总体与个体 研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体. §5.1 总体和样本 在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其一项(或几项)数量指标. 这时数量指标的全体就是总体. 可以用随机变量X来表示, 如:灯泡寿命等 总体:有限总体、无限总体(个体数目). 因此, 总体可以用一个随机变量X来表示, 个体即为X某个取值. 总体的分布也就是随机变量X的分布. 总体:1维总体、 k维总体(数量指标) 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体X中抽取n个体X1,X2,…,Xn，称为总体X 的一个样本. 记为， (X1,X2,…,Xn). 二. 样本 样本中所包含的个体数目n称为样本容量. 大样本:n较大(≥50); 小样本: n较小 Xi 的取值范围同X 的一样. 每次抽取结果 (x1,x2,…,xn) 为样本 (X1,X2,…,Xn) 的观察值或样本值. 也称为样本点 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本. 简单随机抽样是应用中最常见的情形. 如有放回抽样，有时样本容量相对总体中个体总数很小时,无放回抽样可近似认为是简单随机抽样. (1) 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为: F(x1) F(x2) … F(xn) 简单随机样本的性质: (2) 若总体的分布密度为f(x)，则其简单随机样本的联合密度函数为 f(x1) f(x2) … f(xn) (3) 若总体的均值和方差分别为μ,σ2，则 E(Xi) =μ, D(Xi)= σ2 , i=1,2, …,n 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. §5.2 统计量和抽样分布 一、 统计量 统计量的定义: 不含任何未知参数的样本的函数g(X1,X2,…,Xn) ,称为统计量. 它是完全由样本决定的岁机变量. g(x1,x2,…,xn)称为g(X1,X2,…,Xn) 的一个观测值. 二. 几个常见统计量 (1) 样本均值 (2) 样本方差 它反映了总体均值 的信息 它反映了总体方差 的信息 样本方差修正值 (4) 样本k阶原点矩 (5) 样本k阶中心矩 (3) 样本标准差(均方差) 、样本标准差(均方差)修正值 它反映了总体k阶矩的信息 它反映了总体k 阶中心矩的信息 设(X1,Y1), (X2, Yn)…,(Xn, Yn). 是二维总体的一组样本,则常见统计量有: (1) 样本协方差 (2) 样本相关系数 其中 三 抽样分布 统计量也是随机变量，统计量的分布叫做统计量的“抽样分布” . 下面是数理统计中常见的三种“抽样分布” . 1.常见的三种抽样分布 记为 (1). χ2分布 定义: 设 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 分布的密度函数为 来定义. 其中伽玛函数 通过积分 由 分布的定义，不难得到： 1.?? 设 相