线性代数 矩阵的对角化 优质课件 水晶爱人.pptVIP

第四章 矩阵的对角化 §1 向量内积与正交矩阵 一, 向量内积定义4.1 设有n维向量 由此定义可知, 两个n维实向量之内积是一个实数. 且易验证, 此内积满足性质:(1)对称性: (x,y)=(y,x);(2)线性: (x+y,z)=(x,z)+(y,z),z?Rn, (kx,y)=k(x,y), k?R;(3)正定性: (x,x)?0, (x,x)=0?x=0 根据性质(3), 当x?0, y?0时, 显见: 二, 正交向量组与规范正交基 当一组向量两两正交, 就称为正交向量组. 通常, 我们所讨论的正交向量组里的向量, 皆为非零向量. 在n维向量空间中, 正交向量组有些什么性质? 定理4.1 若n维向量a1,?,ar是一组两两正交的非零向量, 则a1,?,ar线性无关.证明 设 l1a1+?+lrar=0用a1与等式两边分别作内积: (a1, l1a1+?+lrar)=(a1,0),即得 l1(a1,a1)=0由a1?0?l1=0.类似可证得l2=?=lr=0, 所以a1,?,ar线性无关. 定理4.2 在n维向量空间中, 任一正交向量组a1,?,ar (rn), 必可扩充为一组正交向量组a1,?,ar,br+1,?,bn. 即 定义4.4 若向量空间V的一组基是两两正交的单位向量组, 则称其为V的一个规范正交基.在向量空间V中, 使用规范正交基有何优点呢?设dim(V)=r, l1,?,lr是它的一组规范正交基, 即有 定理4.3 (Gram-Schmidt正交化过程)设在向量空间V中有一组线性无关的向量a1,?,ar, 取 在依上式得到b1,?,br后, 再把它们单位化, 即取 例4.2 已知R4中一组基: 解 取 再令 例4.3 已知a1=(1,1,-4)T, 求一组非零向量a2,a3, 使a1,a2,a3两两正交.解 a2,a3应满足a1Tx=0, 即 x1+x2-4x3=0.它的基础解系为 由于x1,x2不正交, 故可利用施密特正交化方法, 取 三, 正交矩阵 设在Rn中有一组规范正交基l1,?,ln, 即有 显见 ATA=E?(li,lj)=dij, i,j=1,?,n.定义4.5 若n阶矩阵A满足ATA=E, 则称A为正交矩阵. 显见, 正交矩阵的定义还可叙述为: 若n阶矩阵A满足: AT=A-1, 则A为正交阵.也还可以定义为: n阶矩阵A为正交阵的充分必要条件是: A的列向量组是两两正交的单位向量组.由于ATA=E与AAT=E是等价的, 因此, 上面的第三种定义还可以叙述为: A的行向量组是两两正交的单位向量组. 例4.4 判别矩阵A是否是正交阵 例4.5 求上例中矩阵A的逆阵A-1.解 由上面已知A是正交阵, 故 正交阵的性质:(1) 若A,B皆为正交阵, 则AB也是正交阵.证明 因 (AB)TAB=BTATAB=BTEB=BTB=E.所以, AB是正交阵.(2) 若A是正交阵, 则|A|=1或|A|=-1.证明 由ATA=E, 有|ATA|=|E|=1, 即|A|2=1, 即|A|=1或|A|=-1. 定义4.6 若A是正交阵, 则线性变换y=Ax称为正交变换.(3) 正交变换是保模变换, 即对于正交变换y=Ax, 有||y||=||x||.证明 §2 方阵的特征值与特征向量 定义4.7 设A是n阶方阵, 若数l和n维非零向量x, 使关系式 Ax=lx成立, 则称数l是方阵A的特征值, 非零向量x称为A的属于特征值l的特征向量. Ax=lx这个定义告诉我们:(1) 特征向量一定是非零向量.(2) 特征向量是属于某一个特征值的, 它不能同时属于两个不同的特征值.(3) 有了一个特征向量, 就可以有无穷多个特征向量.(4) 若A有特征值l, 则Ak就有特征值lk(k?Z+). 如何求得矩阵A的特征值和特征向量呢?式子 Ax=lx?(lE-A)x=0.由于x是非零向量, 故齐次线性方程组(lE-A)x=0有非零解, 而这等价于|lE-A|=0. 定义4.8 称 当从特征方程|lE-A|=0中求得根l0后, 由于|l0E-A|=0, 故(l0E-A)x=0必有非零解, 即有Ax=l0x. 也就是, 求得l0后, 必可求得属于特征值l0的全部特征向量. 这些特征向量即由(l0E-A)x=0的基础解系所表出. 还有一个问题: 从|lE-A|=0中是否一定能求出A的全部(n个)特征值?结论是: 在复数范围内, n次多项式一定有n个根. 也即在复数范围内, 一定可以求出n个特征值. (重根按重数计算). 因此, 在给定n阶方阵A后, 求其特征值与特征向量的步骤如下:(1)从特征方程|lE-A|=0中去求出n