第02章 平面问题的基本理论_2012-part3.pptVIP

§2.7 圣维南原理及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例题 习题2-9：试应用圣维南原理，列出图2-15所示的两个问题中OA边的三个积分应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？（设板厚为单位厚度1） 解：（1）对于图（a），上端面的面力为分布力，应用圣维南原理，列出其三个积分应力边界条件： §2.7 圣维南原理及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例题 （2）对于图（b），上端面处给出了面力主失量和主矩，应用圣维南原理，列出其三个积分应力边界条件： （3）在上端面处，两个问题的三个积分应力边界条件相同，这两个问题是静力等效的。 §2.1 平面应力问题与平面应变问题 §2.2 平面问题中的一点应力状态分析 §2.3 平面问题的平衡微分方程 §2.4 平面问题的几何方程与刚体位移 §2.5 平面问题的物理方程 §2.6 平面问题的边界条件 §2.7 圣维南原理及应用 §2.8 按位移求解平面问题 §2.9 按应力求解平面问题及相容方程 §2.10 常体力情况下的简化与应力函数 主要内容 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　定义 边界条件：表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，又分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 1、位移边界条件：若给定了部分边界上的约束位移分量，则边界上每一点的位移函数应满足如下条件 其中等式左边是位移的边界值，而等式右边则是边界上的约束位移分量，是边界上坐标的已知函数。 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　位移边界条件的说明 1、它是函数方程，要求边界上每一点的位移与约束　位移相等； 2、对于完全固定的边界，其约束位移分量均为0，则有(u)s=0,(v)s=0。 3、它是在边界上弹性体保持连续性的条件，或者是位移保持连续性的条件 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　应力边界条件 2、应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应力与面力的关系式： 其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和 m 为该点处边界面外法线的方向余弦。 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　应力边界条件的说明 对于应力边界条件，必须很好地理解和掌握，应注意以下几点： 1、应力边界条件表示边界上任一点的应力和面力之间的关系， 它是函数方程，在边界上每一点都应满足； 2、公式（2-3）表示的是区域内任一点的斜面上的应力分量与坐标面上的应力分量之间的关系，适用于平面区域内任一点，而边界条件（2-15）只能应用于边界上。因此，必须将边界S的方程代入（2-15）的应力表达式中； §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　应力边界条件的说明 3、注意式（2-15）中的面力和应力具有不同的正负号规定，且分别作用于通过边界点的不同面上。外法线方向余弦则按三角公式确定正负号。 4、平面问题中应力边界条件都是每个边界两个，分别表示x和y两个方向的条件，它是边界上微分体的平衡条件，也属于静力学条件。 5、所有边界均应满足，无面力的边界（自由边界）也要求满足。 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　坐标面上的应力边界条件 对于边界面为坐标面的情形，应力边界条件（2-15）可进行简化如下： 若x=a为正x面，l=1, m=0，则有 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　坐标面上的应力边界条件 若x=b为负x面，l= -1, m=0，则有 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　坐标面上的应力边界条件 由于面力和应力具有不同的正负号规定，因此，在正负坐标面上，表达式中的符号是不相同的。在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号。 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　应力边界条件 由上可知，应力边界条件可采用两种表达形式： 1、在边界上取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可得出应力边界条件（2-15）或其简化式（坐标面上）； 2、在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。例如： 在斜面上， 在正负坐标面上，如同前述简化式。 §2.6 平面问题的边界条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　混合边界条件 混合边界条件： 　(1)一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如