高数下 第八章 多元函数微分法.pptVIP

在单位圆 处处是间断点. 多元函数的基本概念 函数 (0,0)点是该函数的间断点. 函数 不同在哪? 想一想 二元函数的间断性与一元函数的间断性 称为多元初等函数, 多元函数的基本概念 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 同一元函数一样, 多元函数的和、差、 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 处均连续. 在它们的定义域的内点 有界闭区域上连续的多元函数的性质 至少取得它的最大值和最小值各一次． 介于这两值之间的任何值至少一次． (1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理 多元函数的基本概念 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果 在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得 多元函数的极限的基本问题有三类 (1) 研究二元函数极限的存在性. 常研究 若其依赖于k, 则 欲证明极限存在, * 特别对于 * 不存在. 多元函数的基本概念 常用定义或夹逼定理. 欲证明极限不存在 (通过观察、猜测), 常选择两条不同路径, 求出不同的极限值. (2) 求极限值. 常按一元函数极限的求法求之. (3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的关系. (罗必达法则除外) 例 求极限 解 其中 多元函数的基本概念 多元函数的基本概念 例 求极限 解 将分母有理化,得 提示 解 多元函数的基本概念 是否把极限 理解为: 先求 的极限, 再求 的极限; 或者 先求 的极限, 再求 的极限 研究 二次极限 有 有 (2) 同理: (3)再来分析当点(x, y)沿过原点的直线 因此 不存在. 多元函数的基本概念 对任意的 有 趋向于 有 时, 可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上 第二, 一般也是不相同的; 第三, 由此看出: 第一, 不能理解为 多元函数的基本概念 连续时, 上述三个极限均相等. 或 求 答: 0 答:不存在. 答:不存在. 二次极限都不存在时,但二重极限也可能 注 多元函数的基本概念 存在. 二次极限与二重极限有本质的区别. 第八章 多元函数微分法 及其应用 第一节 多元函数的基本概念 预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业 function of many variables 第八章 多元函数微分法及其应用 一、预备知识 1. 平面点集 n 维空间 一元函数 平面点集 n 维空间 实数组(x, y)的全体, 即 建立了坐标系的平面称为坐标面. 坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 (1) 平面点集 二元有序 多元函数的基本概念 邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 多元函数的基本概念 令 有时简记为 称之为 ① 将邻域去掉中心, ② 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界) 注 称之为 的全体点称之为点P0邻域. 去心邻域. (1) 内点 显然, E的内点属于E. 多元函数的基本概念