大学线性代数课件第四章第四节 矩阵的秩.pptVIP

定义 在m?n矩阵A中, 任取k行与k列(k?m,k?n), 位于这些行列交叉处的k2个元, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.m?n矩阵A的k阶子式共有 定义 设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式. 数r称为矩阵A的秩, 记作rank(A), r（A），或者 rA.  规定零矩阵的秩等于0. 由行列式的性质可知:(1). 在A中当所有r+1阶子式全等于0时, 所有高于r+1阶的子式也全为0, 因此把r阶非零子式称为A的最高阶非零子式. (2). 矩阵A的最高阶非零子式可能不止一个. (3). A的秩r(A)就是A的非零子式的最高阶数. 由于r(A)是A的非零子式的最高阶数, 因此: (1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则 r(A)?r;(2) 若A中所有r阶子式全为0, 则r(A)r;(3) 若A为m?n矩阵, 则r(A)?m, r(A)?n;(4) 对于n阶矩阵A, 若detA?0, 则r(A)=n; 若detA=0, 则r(A)n. 因此, 可逆矩阵又称满秩矩阵。(5)由定义显然有 r(A)=r(AT). 例1 求矩阵A和B的秩, 其中 定理6 初等变换不改变矩阵的秩 显然B的行向量组可由A的行向量组线性表示, 又aj=-czi+zj, ak=zk(k?j), 所以A的行向量组也可由B的行向量组线性表示, 因此A与B的行秩也相等. 例4 设A是m?n矩阵, mn, 证明: |ATA|=0. 根据定理7,有 r(ATA)?min(r(AT),r(A))n,即列(行)向量组 线性相关. 证 由于r(A)=r(AT)?min(m,n)n, 而ATA是n阶方阵, 利用前面的结论, 即得|ATA|=0. 例5：A为n×s阶矩阵,B为n×t阶矩阵,证明: max{rA, rB} ≤ rank(A, B) ≤ rA + rB 设A的行向量组 的秩为 B的列向量组 的秩为 向量组 的秩为 即证明： 证：（比较向量组秩的大小，通常从各 自的极大无关组考虑） 当 或 时，结论显然成立。 当 时，不失一般性， 设向量组A的极大无关组是 设向量组B的极大无关组是 设向量组C的极大无关组是 * 矩阵的秩的概念是研究线性方程组 理论的重要基础. 个 例如： 另外，把矩阵的每一行看成一个向量， 则矩阵可被认为由这些行向量组成，把 矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可 被认为由这些列向量组成。 定义 矩阵的行向量组的秩，就称为 矩阵的行秩; 矩阵的列向量组的秩，就称为 矩阵的列秩。 例2：矩阵 的行向量组是 可以证明， 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 即 可知 即 线性无关； 而 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 线性相关。 所以向量组 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是 可以验证 线性无关， 而 所以向量组 的一个极大无关组是 所以向量组 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。 引理： 是列满秩矩阵，则其行秩、秩均为 n 证明： 显然有 n≤s 下面证明 t =n 这是 s 个 n 维向量，一定线性相关 假设 t n, 则A的行向量组的极大无关组中只含 t 个 向量， 设为 证明： A=0时显然成立 定理5 证 : 直接证明(按书上的方法也可)由定理5的结论, 只需证明:作一次行初等变换不改变矩阵的行秩. 设A是m?n矩阵, A的m个行向量记作a1,a2,...,am. 对换A的某两行位置, 所得到的矩阵B的m个 行向量是A的m个行向量, 显然B的行秩等于A的行秩. (ii) 把A的第i行乘非零常数c得B, 则B的m个行向量为a1,a2,...,cai,...,am, 显然B的行向量组与A的行向量组是等价的, 因此B的行秩等于A的行秩. 定理7 证： （1）设 把它们用列向量组表示 设 设A的列向量组的极大无关组为 则 设 则 设A的列向量组的极大无关组为 则 可知 中任一列向量都可由向量组 线性表示， 又 综上， （2）设 把A用列向量组表示， 设 则 即AB的列向量组可由 线性表示， 即可由矩阵A