计算机图形学_5（JK）.pptVIP

与非参数方法相比，参数方法有如下优点： 1. 曲线、曲面方程与坐标系无关，方程形式不因坐标系的改 变而改变（称为几何不变性），易于进行几何变换； 2. 提供更多自由度控制曲线、曲面的形状； 3. 方程中的代数量和几何量分离，便于把低维空间的曲线、 曲面推广到高维空间； 4. 容易处理无穷大斜率，计算不会因其无穷大而中断； 5. 易于处理多值问题； 6. 规格化的参变量（如 t∈[0，1]），使相应几何分量有界， 易于规定曲线、曲面的边界； 7. 便于曲线、曲面的分段、分片描述； 8. 易于用矢量和矩阵形式表示几何分量，既简化计算又易于 编程。 Ferguson曲线 一. Ferguson曲线的表达式 用三次多项式表示参数曲线，可表示为下式： P(t)=At3+Bt2+Ct+D=[t3 t2 t 1][A B C D]T=[t3 t2 t 1]M 其一阶导数为 P’(t)=[3t2 2t 1 0]M 在曲线的始末点处，有 P(0)=[0 0 0 1]M=Q0，P(1)=[1 1 1 1]M=Q1, P’(0)=[0 0 1 0]M=Q’0，P’(1)=[3 2 1 0]M=Q’1 几何表示： 写成矩阵形式为 三次Hermite插值基函数 则切矢长度为 2k。随着k值的变化，Ferguson曲线的形状也不 断发生变化；当k值等于某一临界值时，曲线上出现一个尖点； K值继续增大，曲线将出现一个环形。 下面推导Ferguson曲线出现尖点的条件。 根据给定条件，曲线方程为： P(t)=H0,0(t)[0,0]+H0,1(t)[1,0]+H1,0(t)[k,k]+H1,1(t)[k,-k] 由此可以求得： x=2(k-1)t3+3(1-k)t2+kt; y=k(-t2+t). 为了求出尖点，令： dx/dt=6(k-1)t2+6(1-k)t+k=0, dy/dt=k(-2t+1)=0. 由此求出，当t=1/2，k=3时，曲线出现一个尖点。当k=0时，曲 线退化为连接两个端点的直线段；当k＞3时，曲线出现一个闭 环。 1. 位置矢量 对于三维参数曲线，曲线上任一点的位置矢量为 P(t) = [x(t) y(t) z(t)] 位置矢量常常是构造曲线的型值点。 2. 切矢量 对于三维参数曲线，曲线上任一点处的切矢量为 P’(t) = [x’(t) y’(t) z’(t)] 切矢量反映了曲线在该点处的变化速度和变化方向。 对于一般参数t，若|dP/dt|≠0，称T T = dP/dt / |dP/dt| 为单位切矢量。对于弧长参数s，切矢量T为 T = dP/ds = dP/dt / ds/dt 其中，ds2=dx2+dy2+dz2 。 3. 曲率 设曲线以弧长s为参数，则参数曲线上任一点处的曲率为 k = |dT/ds| ∵ T = dP/ds = P’(s)，∴ k= |d2P/ds2| = |P”(s)|，即 k = [(d2x/ds2)2 + (d2y/ds2)2 + (d2z/ds2)2]1/2 称ρ=1/k为曲率半径。曲率反映了曲线在该点处的弯曲程度。 4. 法矢量 空间曲线上任一点处的所有垂直于切矢量的矢量都是法矢 量，它们位于同一平面上，该平面称为法平面。矢量dT/ds即 是一个与切矢量T垂直的法矢量，称其为主法线矢量，其单位 矢量记作N，并称为单位主法线矢量。矢量B=TxN是一个与T和N 垂直的矢量，称为单位副法线矢量。T,B,N是三个互相垂直的 单位矢，它们决定了曲线在该点处三个基本方向，构成了曲线 在该点处的一个直角坐标系，其三个面分别称为密切面(TN)， 法平面(NB)，化直面(BT)。 5. 挠率 以弧长为参数的参数曲线上的任一点处的挠率为 τ=|dB/ds| 挠率反映了曲线在该点处扭出密切面的速度。 对于平面曲线，密切面就是曲线所在平面，其副法线矢量 是固定不变的，故dB/ds=0。因此，曲线是平面曲线的充要条件 是，曲线上任意点处的挠率为零。非平面曲线，τ≠0。 曲线段的连接条件 设曲线P(t)和Q(t)，t∈[0,1]，在参数域内处处k次连续可 微，称曲线为Ck参数连续。该两段曲线在连接处： 1. 位置连续 (C0连续)：端点是公共点