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从数据拟合到线性方程组 北京交通大学 张后扬 实际问题：给定平面上的一组数据，作一条直线，尽“可能”的过这些点。 将上述的实际问题转化为经济学问题就是——做出上证指数的上升和下降通道。 将上述的实际问题进行简化，每一根K 线用一对数据（T，Y ）进行表示，则问题化为 作一条直线Y=AT+B ，尽“可能”的过这些点。如果将每一根K 线用一组数据（T，H ，L ， C，O ）进行表示，则问题化为多参数线性拟合。 理想情况下问题的解： 如果数据只有二组，这两组数据是( ) ( ) t , y 和 t , y ，要作的直线是y at +b ，则有 1 1 2 2 y at +b ⎧ 1 1 ⎨ y 2 at2 +b ⎩ 解这个线性方程组，则有 212 ⎧ y t −y t b 1 2 2 1 ⎪ ⎪ t2 −t1 ⎨ ⎪ y 2 −y 1 a ⎪ t −t ⎩ 2 1 非理想情况下问题的解： 如果数据有两组以上，通常的情况这些数据是不会在一条直线上，将点代入方程，设这 个误差是ε ，则有 + + y at b ε ⎧ 1 1 1 ⎪ + + y at b ε ⎪ 2 2 2 ⎨ ⎪ ⎪ + + y n atn b εn ⎩ n 2 如果我们理解尽“可能”过这些点的数学意义是选取 a,b ，使得 ε 最小。则问题化为 ∑ i 1 如下问题的极小化： N N 2 2 min ∑εi = min ∑(y i −ati −b) a ,b∈R 1 1 a b∈R 1 1 , 利用极小问题的必要条件，这个二次函数有唯一的极小点满足如下条件： ⎧ n − − − 2∑(y at b)( t ) 0 ⎪ i i i