毕业论文--略论儒歇定理.docVIP

略论儒歇定理 摘要：本文论述了儒歇定理的基本内容和一般应用.首先给出了复变函数中的辐角原理，利用辐角原理得出儒歇定理，并通过对儒歇定理的3个条件“①函数、在D内解析且连续到边界C；②在C上，；③D是复平面上的一个有界区域；”分别减弱得到推广的儒歇定理.最后指出儒歇定理在解决根的存在问题上的应用. 关键词： 辐角原理 儒歇定理 亚纯函数 解析函数 零点 极点 1 引言 儒歇定理定理是复变函数论中的的重要理论之一.儒歇定理在解决解析函数零点个数以及解决方程在一些区域内根的个数有很广泛的应用，本文通过对儒歇定理的三个条件分别减弱得到的广义儒歇定理，使儒歇定理应用性更广.并且对儒歇定理在解析函数上的应用做了系统的归纳和总结. 2 关于儒歇定理主要结果及证明 2.1 辐角原理 设D是复平面上的一个有界区域，其边界使C.又设是D内亚纯的函数，它在C上每一点解析，且在在C上没有零点，则 这里及分别表示在D内零点及极点的总数，且每个K阶零点或极点分别算作K个零点或极点.表示Z沿C之正方向绕行一周后的改变量，它一定是的整数倍 . 注：上面条件“在C上每一点解析且不为零”可以减弱为“连续到边界C且沿C有”. 2.2主要结果及证明 由辐角原理可以推出重要的儒歇定理. 定理1 若D是复平面上的一个有界区域，其边境是C,函数、在D内解析且连续到边界；在C上，；则在D内，与 的零点个数（几阶算作几个）相等. 证明 由假设知与在C的内部解析，且连续到C，在C上有| 这样一来，这两个函数及都满足辐角原理的条件.由于这两个函数在C的内部解析，于是由，下面只要证明 由关系式 ， 根据条件在C上，当Z沿C变动时.借助函数将Z平面上的周线C变成平面上的闭曲线.于是全在圆周|-1|=1的内部.就是说，点不会围着原点=0绕行.故 ， 因此与 的零点个数相等. 由儒歇定理可以得到下面两个定理： 定理2 若函数在区域D内解析，是的m级零点则对于充分小的，存在，使得对于圆内的每一个A，函数-A在内恰有m个零点. 证明 是函数的m级零点，由零点孤立性，存在，使得在属于D的闭圆上，除去外没有其他的零点，在上 于是对于内的任意A，当时， ， 即 由儒歇定理，-A 和，在圆内有相同个数的零点，在内恰有m个零点. 定理3 若函数列在区域D内是解析的，并且在D内闭一致收敛到不恒为零的函数，是D内可求长简单曲线，