数值方法 第4章 插值与基函数(上）.pptVIP

元 上满足： 10 20 是 的齐三次式（亦即 的三次式） 唯一可解性： 设 在 边 为一个自变量 的三次式（在点 A1 A3 A2 C 点也类似情况）。由于已设 点在x,y向微商为0，故对任意方向，特别是 向微商亦为0，从而边 上有四个条件 由一维Hermite 三次插值的唯一可向性可知 从而必含因子 ，同理还含有因子 ，故 但因 ，则k=0，故 基函数：构造10个对面积坐标 的基函数 和 要求： （i） 角点位移 内点位移 角点导数 角点导数 （ii） 在e上都是三次式 表达式 (4.35) 求具体值： 六个系数，利用六个条件求，即 有 得到 故 亦含有因子 ，故与 应有相同的一般表达式，代入相应插值条件易得： 适当输转角标有 类似地 由 知k=27，故 (4.36) 要注意这样的基函数得出的插值函数的表达式，乘在 前面的系数应是 和 若所给微 商是 和 故 (4.37) 亦即相当于在x-y平面上把基函数 改成 (4.38) 这样就得到在单元e上的插值基函数。 引理 三角形剖分 NP：NE：NS≈1：2：3 四边形剖分 NP：NE：NS≈1：1：2 证：（三角形）Ω 内总内角和ψ，每一单元和π，故ψ=πNE 从顶点看，每点周角2π，故 其中α为边界节点的外角， 为边界节点总数。 对于一般结构来说，外角总数总是远远小于结点数的。现在上式中NPπ，则分母远远大于分子，因此在结点足够多时，可认为 则 即 对于边，一个单元三条边，每条属于Ω内部的边又与两个单元相联，有 其中 为边界上的边数，显然 是一个小数，当边足够多时，可认为 近似为0 证毕。 四边形单元的情况类同，证明从略，从式子中可以见到, 多边形单元加内点并不合算，加一个点的工作量等于加一个单元的工作量。 2．线性插值与面积坐标 （1）线性插值型（即Lagrange型）插值： 一次式 表示空间平面，根据插 值函数的定义它通过三个定点 只要此三点不在一条直线上，这样的平面显然是唯一确定的。因此插值函数写成