第7章系统状态变量分析(离散部分).pptVIP

7.4 离散时间系统状态方程的建立 7.4.1 离散时间系统状态方程的一般形式 为系统的 个状态变量； 其中， 个状态变量的系统，其状态方程为 个输出、 个输入、 离散时间系统的状态方程可以表示为一阶差分联立方程组的形式。 对于 为系统的 个输入信号； 输出方程为 为系统的 个状态变量； 其中， 为系统的 个输出信号。 若系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即状态方程为 输出方程为 状态方程和输出方程也可表示成矢量方程，即 状态方程表示为： 输出方程表示为： 其中， ， ， ， ， 7.4.2状态方程的建立 离散时间系统的状态方程可由其信号流图建立。描述离散时间系统的差分方程、系统函数和系统方框图等均可以转换成信号流图，然后再建立状态方程。 在给出离散时间系统的信号流图时，建立状态方程的一般规则为： （1）选取延时单元的输出作为状态变量； （2）围绕加法器列写状态方程和输出方程。 【例7-4-1】给定的离散时间系统的信号流图如图所示，试列写该系统的状态方程和输出方程。 解：从图可以看出，系统有两个延时单元，因而设置两个状态变量 和 ，它们分别是两个延时单元的输出，两个延时单元的 输入分别为 和 。由图可列出状态方程为 状态方程也可以写成矢量方程的形式，即 由图可列出输出方程为 输出方程也可以写成矢量方程的形式，即 【例7-4-2】已知离散时间系统的系统函数为 试求该系统的状态方程与输出方程。 画出信号流图。 写成包含延时器的形式，即 解：将 从图中可看出，系统有三个延时单元，因而设置三个状态变量 ，它们分别是三个延时单元的输出，则三个延时 单元的输入分别为 。由图可列出状态方程为 状态方程也可以写成矢量方程的形式，即 由图可列出输出方程为 输出方程也可以写成矢量方程的形式，即 7.5 离散时间系统状态方程的求解 离散时间系统状态方程的求解包括时域和变换域求解两种方法。时域求解适用于计算机迭代计算，变换域求解适用于人工计算。 7.5.1 离散时间系统状态方程的时域解法 离散时间系统的状态方程为 状态变量 可用迭代法求解 表示 其中， 是离散时间系统的转移矩阵，表征系统自由运动情况， 用符号 即 式中的第一项是起始状态 经转移后在 时刻形成的状态变量 的分量， 称为 的零输入解。 （7-5-4） ，得 将式（7-5-4）代入系统的输出方程 式中的第二项是 时刻以前的输入量所形成的 的另一分量， 的零状态解。 称为 式中的第一项为系统的零输入响应，除第一项外的其余部分为零状态响应。 在零状态响应中，取 ，可得系统的单位取样响应，即 离散时间系统状态方程时域求解的关键是计算转移矩阵 由凯莱—哈密顿定理可将 表示为 其中， 为矩阵 的阶次。如果 的特征根是单根，分别用 的特征根代入上式， 解联立方程组即可求出系数 (7-5-8) 的特征根 若 的特征根有重根，则待定系数 的计算要修正。 是 重根，则对于重根部分的计算式子为 对于单根的特征根，将其代入式(7-5-8)，联合单根和重根的式子， 个方程 共有 ，可解得待定系数 【例7-5-1】离散时间系统的状态方程、输出方程，激励信号分别为 ， ， 解：由题意可知 ， ， ， 是二阶矩阵， 所以,可表示为 。 的特征方程为 解 的特征根为 和 。 分别用 和 替代 中的 ，得 解得 所以 将 替换成 ，得 因为起始是静止的，即 整理得 系统响应 7.5.2 离散时间系统状态方程的变换域解法 离散时间系统的状态方程为 变换，得 求单边 或 对式（7-5-10）取逆变换即得时域表示式，即 （7-5-10） 第一项为状态变量 的零输入解， 第二项为 的零状态解。 变换，得 对输出方程 求单边 将上式取逆变换，得 上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 所以，系统的系统函数为 系统的单位取样响应为 【例7-5-2】已知一个离散时间系统的状态方程与输出方程分别为 ， 其中， 为输入信号， 初始状态 。试求解下列问题： （1）求状态转换矩阵 ； （2）求激励 时的状态就量和响应。 解：（1）由题可知， ，则