离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群.docVIP

离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群 导读：就爱阅读网友为您分享以下“离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92的支持! 6-2.1 群与群的同构 Group 群是抽象代数中最重要的，所以对它的研究也比较多。 一. 概念 1.群的定义：设（G, * ）是个 半群: 封闭 独异点: 代数系统，如果*满足 结合 有幺元 可结合、有幺元且每个元素 群 可逆，则称它是个群。 可逆 即群定义： 设（G, * ）是代数系统, （1） （a * b）* c=a * (b * c) (结合律) （2）幺元 eS, (有幺元) （3）任何aS 有a-1S, (可逆) 则称（G, * ）是个群。 例如： 判断（I,+）,（R,+） ，（P(E), ?）， （R,×） 及（P(E), ∩）是否为群？请说明理由。 解：（I,+）,（R,+）幺元是 0，每个x的逆元是 -x 。 （P(E), ?）幺元是Φ ，因任何XP(E) X?X=Φ ∴X-1=X， （I,+）,（R,+）,（P(E), ?）是群。 而 （R,×） ,（P(E), ∩）都有幺元，但不是群。 2.可换群（阿贝尔群） 定义2: 设（G, * ）是群,运算*是可交换的，则称它是可 换群。 例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ?）都是可换群。 3.子群 定义3：设（G, * ）是群, 如果（G, * ）的子系统（H , *） 也是群，则称（H , * ）是（G, * ）的一个子群 即如果（H , * ）满足： 任何a,b H 有a * b H, (封闭) 幺元 e H, (有幺元) 任何a H 有a-1 H, (可逆) 则称（H, * ）是（G, * ）的子群。 例如：（I,+）是（R,+）的子群。 4.有限群 定义4：如果一个群它的个数是有限的，则称它是有限 群；如果一个群它的个数是无限的，则称它是无限群。 5.群的阶数 (G, * ）是群,如果 |G| =n, 则称（G, * ）是n阶群, 如果 |G|是无限的, 则称（G, *）是无限阶群。 二.群的性质 群除了具有封闭、结合、有幺元、可逆外，还有些重要 性质。下面就讨论这些性质。 1.群满足消去律 定理1.设（G, *）是个群，则对任何a,b,cG, 如果有 a *b=a *c 则 b=c 。 b *a= c *a 则 b=c 。 证明:任取a,b,cG, 设有a *b=a *c 因（G, *）是个群，所以a-1G, 于是有 a-1 *(a *b)= a-1 *(a *c) (a-1 *a) *b= (a-1 *a ) *c 1 *b=1 *c 所以 b=c 类似可证(2). 2. 阶数大于1的群中无零元。 定理2. 设（G, * ）是个群,如果#G ≥2,则G中无零元. 证明. 如果G中有零元θ，则对任何xG,有θ?x=θ, 由于#G ≥2 θ≠e 所以不会有yG, 使得θ?y=e , 即θ不可逆。所以G中无零元. 3. 群中除幺元外，一定无其它幂等元。 定理3. 设(G, *）是个群 ,G中除幺元外,无其它幂等元。 证明. 假设有aG是幂等元，即 a *a=a 又a-1G, 于是有 a-1 *(a *a)= a-1 *a (a-1 *a) *a=e e * a=e 所以 a=e 4. 群方程可解性 定理4：设（G, *）是个群，则对任何a,bG, ⑴ 存在唯一元素 xG, 使得 a * x=b ……. 存在唯一元素 yG, 使得 y * a=b ……. 证明:先证 式有解 因（G, * ）是个群，对任何a,bG,有a-1G, ∴ a-1 * b∈G, 用 a-1 * b 代入中的x 得： a * x= a *(a-1 * b)= (a * a-1) * b= e * b=b 所以x=a-1 * b是方程的解。 （2）再证明式的解的唯一性 设式有两个解x1, x2G, 于是有 a * x1=b a * x2=b 所以 a * x1= a * x2， 由可消去性得 x1=x2 类似可证明 5 . 群的另一个定义 定义6 ：一个代数系统（G, ? ）如果满足下列条件， （1）结合律 a ? (b ? c)=( a ? b) ? c （2）对于任何a，bG, 有 a ? x=b y? a=b在G内都有 唯一的解，则称（G, ? ）叫群 6.群的同构、同态的性质 定义7：设（G, ?）,（H, * ）是两个群， 如果存在一个的映射 g:G?H,使得对任何x1 ,x2X，有 g(x1 ? x2)=g(x1) * g(x2) 则称 g是从（G, ?）到（H, * ）的群同态， 如果g是一一对应则称g （G, ?）到（H, * ）是群同构。 定理1：设（G, ?）是