易拉罐形状和尺寸的最优设计（西南交通大学数学建模国家一等奖）.docVIP

易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本文以用于制造易拉罐的原料总体积最省为优化目标，通过构建多元函数和建立非线性规划模型，利用热力学，材料力学，立体几何相关方面的知识对容积为355 ml的易拉罐的形状与尺寸进行了优化设计，并在综合考虑各方面因素的情况下，构想出了一个外形较美观，手感较好，制造成品所需材料体积又较省的易拉罐模型。 问题一中，结合问题的特殊性，我们首先对实物体各部分的尺寸进行了详细测量，并在多次试验的基础上求取平均值，以达到测量的平均误差最小。通过测量，我们发现易拉罐一些部位的厚度是不一致的，从而确定了应该以原料总体积最小作为优化目标，而不仅仅在于原料面积最小。 问题二中，我们按照此优化目标，建立了有条件约束的非线性规划模型，并结合原问题将其转化为我们熟悉的一元函数极值问题。通过适当的运算，其解析解为：半径与高之比1: (+),再利用实测数据中的厚度来计算其数值结果为，并用实测半径与高之比来验证，两者非常接近，得出该模型是合理有效的。 问题三中，我们在模型一的基础上，考虑到二氧化碳气体的易挥发性，利用盖－吕萨克定律和碳酸化原理合理地为易拉罐内饮料设计了一个满足最大膨胀体积的空间,从而优化设计出了比模型一更加合理的易拉罐。 问题四中，我们再在模型二基础上重新构思了多种新形状的易拉罐，利用圆周定理综合分析考虑选出一种各方面较优的形状（圆柱与球缺组成的）用同样原理的模型优化其尺寸，同样利用LINGO软件解得其尺寸及大致所需材料，经比较分析可得出这种形状的易拉罐较优，所需材料比同容积的其它形状的易拉罐少，各部分比例也较适中。 本文最大的特色是对原问题作出了合理假设，将实物体转化为几何图形，并尽量避开物理化学对我们建立数学模型的影响，通过对其形状从简单的到复杂的都得出类似的结论。我们研究易拉罐的结构是由简易到复杂，层层递进地考察易拉罐的形状和尺寸，但始终没离开实测数据，时时回归实测数据以验证模型，得出与实际相吻合的结论。 关键词：非线性规划、盖-吕萨克定律、圆周定理 一、问题提出 我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。 现在就易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题进行研究及设计。具体说，有以下几个问题： 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。 你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二、基本假设 1、假设研究的易拉罐都是容355毫升饮料的易拉罐； 2、假设易拉罐各部位的材料是一样的，只是有厚度差异，但罐盖、罐身、罐底各自部分的厚度是均匀的； 3、假设制造罐盖、罐身、罐底的加工费是一样的，不考虑切割浪费等，即在讨论本问题时仅考虑成易拉罐本身上的材料量； 4、为了更好地将实际问题数学化，我们假设计算易拉罐铝皮体积时忽略内外径的影响，即制造易拉罐的材料量为表面积与其相应厚度之积； 5、假设一定质量的气体，在保持压强不变的情况下，温度每升高(或降低)，增加(或减小)的体积等于它在时体积的。 三、符号说明 符号 意义 单位 备注 易拉罐的主身的外径 mm 易拉罐的盖部的外径 mm 易拉罐的底部的外径 mm 罐侧壁的厚度 mm 罐盖的厚度 mm 罐底的厚度 mm 易拉罐半径 mm 具体问题中用 具体的局部符号 易拉罐的高度 mm 易拉罐的容积 ml 易拉罐的全高 mm 易拉罐规格容积 355 ml 给定的常数 易拉罐容的饮料的膨胀体积 ml 易拉罐表面所需材料（铝品）的总体积 cm3 表示制造饮料罐身所用材料的体积 cm3 表示制造饮料顶盖所用材料的体积 cm3 表示制造饮料罐底部所用材料的体积 cm3