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一条空间曲线每一正常点都有切线、主法线、副法线，与之相对应的基本向量为单位切向量、单位主法向量、单位副法向量，下面就空间两曲线对应点的切向量（）、主法向量（）、副法向量（）以及该点的曲率()、绕率()之间的关系来讨论研究。由伏雷内公式，有 　　　　　　　　　　　（一）　 假设两曲线建立了一一对应关系，一曲线为：分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记。另一曲线为 ：分别为其切向量、主法向量、副法向量，简记。两曲线的曲率分别为、，简记；两曲线的绕率分别为，简记；一参数，简记为，其中分别为的自然参数。探究空间两曲线的基本向量之间的关系，即讨论一条曲线的切向量、主法向量、副法向量在对应点处与另一条曲线切向量、主法向量、副法向量之间的平行、重合、定夹角的位置关系存在的结论。 探究命题 1 若曲线与的对应点的切线平行，即有（），则它们对应点的主法线、副法线也平行，且。 证明：因为，两边关于求导得 ( 1 ) 于是，又，从而，因此它们对应点的主法线、副法线也平行； 令 () ( 2 ) 则有，即。 两边关于求导得 ，即得 ( 3 ) 由式（1），（2）得 ( 4 ) 又得，得证 综上所述，命题得证。 探究命题 2 若曲线与在对应点的主法线平行，即（），则对应点的切线夹角为定值。 分析：从结论出发，若对应点的切线夹角为定值，则的点积为常数，从而考虑 对求导的值是否为零。 证明：因为，而 ，则 于是 ，即，由此说明在对应点的切线夹角为定值。 探究命题 3 若曲线与在对应点的副法线平行，即（）则在对应点的切线，主法线也平行，且（）。 证明：因为，两边关于求导，得 ( 5 ) 于是 ，令 （） （6） 又 ，从而，因此因此它们对应点的切线、主法线也平行； 令 （） 两边关于求导得 （7） 由式（5）、（6）得 （8） 由式（6）、（7）得 （9） 又得（），得证 综上所述，命题得证。 探究命题 4 若曲线与在对应点切线重合,则这两曲线不存在。 证明：假设存在这样的两条曲线，则：，两边关于求导得 两边点积得 ，即。 若，则，两曲线重合; 若，则表示两重合直线，所以命题得证。 探究命题 5 若曲线与在对应点主法线重合，则这两曲线为曲线。 证明：由曲线定义可知。 探究命题6 曲线与在对应点副法线不可能重合。 证明：假设曲线与在对应点副法线重合，令：，两边关于求导得 （10） 式（10）两边点积得 ，即常数。 于是，两边关于求导得 两边点积得 ，由于，所以，矛盾，这说明只有平面曲线才有可能是命题成立，从而命题得证。 探究命题 7 若曲线的切线与的对应点的主法线平行,则。 证明：由条件可设（），两边关于求导得 两边平方得 ，命题得证。 探究命题 8 若曲线的主法线与的对应点的副法线平行，则。 证明：由条件令 （）两边关于求导得 两边平方得 ，命题得证。 探究命题 9 若曲线的副法线与的对应点的切线平行，则。 证明：由条件令（），两边关于求导得 两边平方得 （11） 类似得到 （12） 式得 ，即 ，命题得证。 探究命题 10 若曲线的主法线与的对应点副法线重合，则（常数）。 证明：由条件可设：，两边关于求导得 两边点积得 ，即常数。 于是，两边关于求导得 两边点积得 ，即，命题得证。 探究命题 11 若曲线的切线