2018年专题6-双(多)动点形成的函数关系问题.docxVIP

2018年初三数学专题复习（六）---双（多）动点形成的函数关系问题一、问题梳理1、动态几何问题是初中数学中教与学的一个重点和难点，也是中考命题中经常考查的内容。动态几何一般是指在一个几何图形的背景下，由点、线等简单图形通过在运动过程中构成新的几何图形，由此而产生的问题。2、动态几何问题一般包括题型：点动、线动、图形动等类型，其核心是函数知识，不仅包括空间观念、应用意识、推理能力等内容，而且体现了运动观点、方程思想、数形结合思想、划归思想和分类思想等数学思想，同时还包含解方程、相似三角形、三角函数和整式运算等知识，故要求具有较强的分析、推理、计算综合解决问题的能力。3、动态几何问题最突出的特点就是图形是运动的、变化的，解决动态问题时：首先需要把动态问题静态化，化为几个静态的过程，“以静制动”，抓住变化中的“不变量”，以不变应万变；其次，考虑问题要全面化，经常会遇到分两种或多种情况来解决的问题，对比较常见的分情况考虑的问题要熟悉，例：说到等腰三角形的角要考虑是顶角还是底角，说到等腰三角形的边要考虑是底边还是腰；其三，将几何图形简单化，学会利用几何图形来分散难点、降低难度，并从特殊位置点着手确定自变量取值范围；第四，动态试题作为选拔性试题难度较大，但入口容易。二、分类：（一）、因动点产生的相似问题1、(2014﹒衡阳）二次函数y＝≠0）的图象与x轴的交点为A(－3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)(其中m＞0),顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m＝2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）利用交点式求出抛物线的解析式；（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；(3)△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，需要分类讨论，避免漏解．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交点为A(－3,0)、B(1,0),∴抛物线解析式为：y＝a(x＋3)(x－1)．将点C(0,－3m)代入上式，得a×3×(－1)＝－3m,∴m＝a，故抛物线的解析式为：y＝m(x＋3)(x－1)＝．（2）当m＝2时,C(0,－6),抛物线解析式为y＝则．设直线AC的解析式为y＝kx＋b,则有，解得，∴y＝－2x－6．如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F(x,－2x－6)．∴PF＝yF－yP＝＝．S＝＝＝＝∴S＝＝故S与x之间的关系式为S＝当x＝时，S有最大值为．（3）∵y＝＝∴顶点D坐标为(－1,－4m)．如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝4m,OE＝1,AE＝OA－OE＝2；过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1,CF＝OF－OC＝4m－3m＝m．由勾股定理得：＝＝＝＝＝＝．∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，∴△ACD必为直角三角形．i）若点A为直角顶点，则＝即：＝整理得：＝∴此种情形不存在；ii）若点D为直角顶点，则＝即：＝整理得：＝∵m＞0,∴m＝．此时，可求得△ACD的三边长为：AD＝＝＝△BOC的三边长为：OB＝1,OC＝＝．两个三角形对应边不成比例，不可能相似，∴此种情形不存在;iii)若点C为直角顶点，则＝即：＝整理得：＝1，∵m＞0,∴m＝1．此时，可求得△ACD的三边长为：AD＝＝＝△BOC的三边长为：OB＝1,OC＝3,BC＝．∵＝＝＝∴满足两个三角形相似的条件．∴m＝1．综上所述，当m＝1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．【点评】本题是二次函数综合题型，考查了函数的图象与性质、待定系数法、相似、勾股定理、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问重点考查了图形面积的计算方法；第（3）问重点考查了分类讨论的数学思想．2、(2014﹒松江区二模）在△ABC中，AC＝25,AB＝35,tanA＝点D为边AC上一点，且AD＝5，点E、F分别为边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF＝∠A．设AE＝x,AF＝y．（1）如图1，当DF⊥AB时，求AE的长；（2）如图2，当点E、F在边AB上时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）联结CE，当△DEC和△ADF相似时，求x的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先根据DF⊥AB,∠EDF＝∠A，得出∠ADE＝90°,再根据AD＝5,tanA＝即可求出AE；（2）过点D作DG⊥AB,交AB于G，先证出△EDF∽△EAD,得出＝AE﹒EF,再求出DG、AG，最后根据EG＝＝得出＝x﹒(x－y),再进行整理即可；