2008-2009高数工-2期中.docVIP

北京工业大学2008─2009学年第二学期 《高等数学》期中试卷 学号 姓名 成绩 注意：本试卷共6页，17道题。考试时间95分钟。考试日期：2009年5月 日 题 号 一 二 三 四 成绩 分 数 20 20 40 20 核分 得 分 复查 得分 一、单项选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确结果的字母写在括号内。 1．若函数在点处不连续，则必有 【 C 】 （A）不存在 （B）在点无定义 （C）在点不可微 （D）不存在 2．原点是函数的 【 C 】 （A）极小值点 （B）极大值点 （C）驻点却不是极值点 （D）非驻点 3．若函数在平面单连通域内有连续偏导数，为内任意分段光滑封闭曲线， 且，则 【 D 】 (A) (B)  （C） （D） 4．设区域，则二重积分 【 A 】 (A) (B) (C) (D) 5．设是正方形区域的边界，则曲线积分 【 B 】 （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上. 6．设函数 ． 7．设是由方程 为常数所确定的二元函数，则 ． 8．旋转抛物面的切平面： ， 平行与已知平面. 9．将二次积分交换积分次序后的形式为 ． 10．设曲面， 则曲面积分 ． 三、计算下列各题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 解答应写出主要过程或演算步骤. 11．设，其中函数具有二阶连续偏导数， 求，． 解： ， . 12．计算二重积分 （要求画出二重积分区域的草图）。 解： = . 13．将三重积分分别化为直角坐标、柱面坐标、球面坐标下的三次积分，其中。 解： 三重积分在直角坐标系下的累次积分为 ， 在柱面坐标系下的累次积分为 ， 在球面坐标系下的累次积分为 . 14．计算曲线积分，其中是从点沿着曲线到点O的一段圆弧。 解： 补线：后设所围区域为，应用Green公式 . 15．设曲面是旋转抛物面上部分的外侧，计算曲面积分：。 解： 补加平面：取下侧，构成闭合曲面取外侧，设所围区域为。应用Gauss公式则有 ，其中 由关于x轴对称，得； 关于y轴对称，得, 四、 解答题: 本大题共2小题，每小题10分，共20分.要求写出详细的解答过程. 16．分别利用定积分、二重积分、三重积分计算旋转抛物面和平面所围成的空间区域的体积（要求画出空间区域体积的草图）。 解：设的体积为 在xoy平面投影 利用定积分计算 ， 利用二重积分计算 ， 利用三重积分计算 . 得分 17.一本长方形的书，每页所印文字部分要占150平方厘米，上、下空白处各要留1.5厘米宽，左、右空白处各要留1厘米宽，应用拉格朗日乘数法求每页纸长、宽各为多少时，耗纸最省？ 解：设每页所印文字部分宽，长为，则每页纸宽为，长为，每页纸面积为 ，且 构造Lagrange函数 令， 得，； 由实际意义知S最小值存在。故当每页纸宽为12cm，长为18cm时耗纸最省. 北京工业大学08级第二学期期中考试 高等数学（工、信—2）期中考试试卷 第 1 页 共 6页 得 分 得