《高等数学》第五章 定积分及其应用（电子讲稿）.docVIP

第五章 定积分及其应用 在第四章，我们讨论了积分学的第一个基本问题——不定积分，它是作为微分的逆运算而引入的. 从本章开始，我们将研究积分学中的第二个基本问题——定积分. 第一节 定积分的概念与性质 定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题. 古希腊的阿基米德用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”, 都曾计算过一些几何图形的面积和体积,这些均为定积分的雏形. 直到17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学. 一、引例 1．曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形、三角形、梯形等平面图形面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段.但在生活与工程实际中经常接触的大多数都是曲边图形,它们的面积怎么计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时期，我国数学家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”,把圆的面积近似看成多边形面积来计算. 先从平面图形中较为简单的曲边梯形的面积问题来加以考虑，所谓曲边梯形是指如图51所示的图形，设这曲边梯形是由连续曲线（不妨设）所围成.为了求其面积，我们用任意分割、近似代替、求和、取极限的思想来解决.具体步骤如下： （1）任意分割. 在内任意插入个分点, （图52）使 ， 将区间分成个小区间，其长度记为： ， 过各分点作轴的垂线，将原曲边梯形划分成个小曲边梯形. （2）近似代替. 在每个小区间上任取一点.当小区间长度很小时，用为宽，为高的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即 . （3）求和. 将这个小曲边梯形面积的近似值相加，就得到曲边梯形的面积的近似值，即 . （4）取极限. 显然，分割越细，即越小，则的值与就越接近，从而也越接近于曲边梯形的面积，为了保证每个小区间的长度无限小，令 ， 当时（这时小区间数无限增多，即），若的极限存在，则可以认为此极限就是曲边梯形面积的精确值，即 . 于是曲边梯形的面积归结为一个和式的极限问题. 2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，且其速度是时间段上的的连续函数，求该物体在该时间段内所经过的路程. 这是一个变速直线运动的路程问题. 在物理学中，我们知道匀速直线运动的路程计算公式为 路程=速度时间. 因为物体作变速直线运动，则路程不能简单地按匀速直线运动的路程公式来计算. 解决这个问题的思路和步骤与求曲边梯形的面积相似. （1）任意分割：用分点,将总的时间间隔分成个小区间，记它们的长度为 . （2）近似代替：把每小段时间上的运动视作匀速，任选一时刻，作乘积，显然在这小段时间内所经过的路程可近似地表示为 . （3）求和：将个小段时间上的路程相加，就得总路程的近似值为 . （4）取极限：显然，当时，若的极限存在，则这个极限值可以作为的精确值，即 . 上述两个实际问题，虽然意义不同，但解决问题的方法完全相同，都是采用任意分割、近似代替、求和、取极限4个步骤，并且最终具有相同的结构——和式的极限. 二、定积分的定义 从上面两个例子可以看出，不管是求曲边梯形的面积还是变速直线运动的路程,它们都归结为对问题的某些量进行“任意分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如 的极限问题. 我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，由此可以给出定积分的定义如下： 设函数在区间上有界，任取分点， ， 将区间分成个小区间,记为第个小区间的长度.在每个小区间上任取一点，作函数值与相应小区间长度的积，并作和式 ， 记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，极限 总存在，则称函数在上可积，且称这个极限是在区间上的定积分（简称积分），记为，即 ， 其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限. 由定积分定义可知，前述的曲边梯形面积可表示为 . 变速直线运动的路程可表示为 . 对于定积分的定义需要注意的是：定积分是一个数，当被积函数及积分区间给定后，这个数便是确定的了，而与的分法和的取法无关，也与积分变量的记号无关，故若存在，则有 ． 和通常称为的积分和．如果在上的定积分存在，我们就说在上可积．那么，函数在上满足怎样的条件，在上就一定可积？这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下3个充分条件． 若函数在上连续，则在上可积. 若函数在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积. 若函数在上单调，则在上可积. 由于初等函数在其定义区间内是连续的，故初等函数在其定义域内的闭区间上可积. 函数在上可积的条件与在上连