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第4章 平面问题的有限元法 1. 位移模式和形函数 组装总刚的一般规则 形成整体刚度矩阵的过程如下： 1）按块计算各单元刚度矩阵[k]的各单元。 2）找出单元上各结点的局部所对应的整体号，并按此关系确定单元刚度矩阵各单元的整体行列号。 整体刚度矩阵的特点 1、均布体力的等效结点荷载 2、分布边界力的等效结点荷载 3、集中力的等效结点荷载 图(a)中的矩阵[K]为n行n列矩阵，半带宽为d。半带存贮时从[K]中取出上半带元素，按图(b)中的矩阵 的排列方式进行存贮，即将上半部斜带换成竖带。存贮量n*d，存贮量与[K]中元素总数之比为d/n，d值越小，则存贮量约省。 矩阵[K] 矩阵 对角线 第1列 r行 r行 r列 45度斜线 r行s列 r行s-r+1列元素 元素 同一网格中，如果采用不同的结点编码，则相应的半带宽d也可能不同。如图，是同一网格的三种结点编码，相邻结点码的最大差值分别为4、6、8，半带宽分别为10、14、18。因此，应当采用合理的结点编码方式，以便得到最小的半带宽，从而节省存贮容量。 按整体编码表示为： 练习：总刚集成 4.5 位移约束条件的引入 边界的约束情况 (1)基础支承结构 (2)具有对称轴的结构 （3）具有给定位移边界的结构 对角元素改1法（划行划列法） 只能用于给定零位移。 对角元素乘大数法 六、等效结点力、载荷列阵 ij边上均布力px ij边上三角形荷载px 输入离散模型数据 按选择的单元计算 单元刚度矩阵 按总刚存储模式集成总刚 按单元循环 计算单元等效结点荷载 集成结点荷载列阵 引入位移边界条件 解方程组 其他辅助计算 结果输出、结束 形成K 形成R * 弹性力学与有限元 * * * 《 弹性力学与有限元 》 * 《 土 力 学 》 《弹性力学与有限元 》 * 对于二维连续介质，以图所示的建筑在岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法进行分析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个三角形单元，这些直线是单元的边界，几条直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接，结点位移是基本的未知量。 (3)选择位移函数。 (4)通过位移函数，用结点位移唯一地表示单元内任一点的应变；再利用广义虎克定律，用结点位移可唯一地表示单元内任一点的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。 连续介质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元特性计算以及单元组合体的结构分析。 第4章 平面问题的有限元法 4.1 三角形常应变单元 一、离散化 将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。 同时，将所有作用在单元上的荷载（包括集中荷载、表面荷载和体积荷载），都按虚功等效原理移置到结点上，即等效结点荷载。 二、三角形常应变单元 将i、j、m坐标分别代入得 代数余子式 I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵 同理可得 位移模式需满足以下三个条件： 1、位移模式必须反映单元的刚体位移 2、位移模式必须反映单元的常量应变 3、位移模式应尽可能反映位移的连续性 2、单元应变分析 应变矩阵为常量，单元内应变是常数 3、单元应力分析（物理方程） 应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。 4.2 形函数的性质 行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。 代数余子式 4.2 形函数的性质 4.3 单元刚度矩阵 对于三角形常应变单元 分块矩阵 单元刚度矩阵[k]e中任一列的元素分别等于该单元的某个结点沿坐标方向发生单位位移时，在各结点上所引起的结点力。 单元的刚度取决于单元的大小，方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平移而改变。 讨论：krs与ksr的关系 4.4 结点平衡方程与整体刚度矩阵 N个单元，n个结点，N组单元结点刚度方程 结构整体 结构整体 单元分析 4.4 结点平衡方程与整体刚度矩阵 单元分析 4.4 结点平衡方程与整体刚度矩阵 单元分析 写成分块矩阵