《2018艺体生文化课-百日突围系列》基础篇 专题9 必得分之--等差数列与等比数列的基本运算【教师版】.doc

专题 等差数列与等比数列的基本运算 等差数列的概念与运算 【背一背基础知识】 1．等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是. 3．等差中项 如果，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的前n项和 (1)公式的推导：等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的． (2)等差数列{an}的前n项和公式： 【讲一讲基本技能】 必备技能： (1)等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)． (2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断． ①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列． ②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列． (3)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行． (4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题． 典型例题 例1【2016高考新课标】已知等差数列前9项的和为27，，则 （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 【解析】 由已知，所以故选C. 例2【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 + S62S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【练一练趁热打铁】 1.已知等差数列的前和为，若， ，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】等差数列的前和为， ， ， ，解得， ，故选A. 在等差数列中， ，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】等差数列中， 化为基本量得到 等差数列的性质【背一背基础知识】 1.等差数列{an}的常用性质 (1)通项推广：an＝am＋(n－m)d(d为数列{an}的公差)． (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. (3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为k2d. (5)Sn＝n＝n＝n＝…. 2．等差数列的前n项和公式与函数的关系 (1)等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化为：Sn＝n2＋(a1－)n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的常数项为零的二次函数，即. (2)在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值． 【讲一讲基本技能】 1.必备技能： (1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d0时，{an}为递增数列，当d0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列． (2)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n.d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{an}是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题．d＝0时，Sn为n的一次函数． (3)等差数列的单调性 等差数列公差为d，若d0，则数列递增． 若d0，则数列递减． 若d＝0，则数列为常数列． (4)等差数列的简单性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. ②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. ③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d. ④S2n－1＝(2n－1)an. ⑤若n为偶数，则S偶－S奇＝d. 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． ⑥数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列． 公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到