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第三节 连续型随机变量及其概率分布 * * 设 A =“取出的4只鞋子中至少有两只配成一双” 则 =“取出的4只鞋子中任两只都不能配成双” 解法2 解法1 解 从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子至少 有两只配成一双的概率。 作业 讲解 （教材P23第10题） 从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子至少 有两只配成一双的概率。 解法4 解法3 作业 讲解 （教材P23第10题） 一、随机变量 注： (2)随机事件可以通过随机变量来描述。如掷硬币中： (3)随机变量的取值是有一定概率的。如 (1)随机变量的自变量为 函数值为实数。 定义 设随机试验 E 的样本空间Ω={e}。如果对于每一个 都有唯一的实数 X(e) 和它对应，且对于任何实数 x, 具有确定的概率，则称X=X(e)为随机变量。 课前 复习 ⒈定义：设X为一随机变量，x 为任意实数，函数 称为随机变量 X 的分布函数。 注：⑴ 的自变量和函数值都是实数,定义域 . ⑵ 的几何意义为：随机变量X 落入区域 内的概率就是分布函数 在点 x 处的值。 ⑶分布函数可以完整地描述随机变量取值的概率情况. 二、分布函数 ⒉分布函数的性质 (1) 是一个单调不减的函数； (2) (3) 在间断点是左连续的，即 注：这三条性质也称为分布函数的三条特征性质。 离散型随机变量、分布律（列）、贝努利概型 0-1分布： 二项分布： 泊松分布： 结论：离散型随机变量 X 的分布律具有性质： ⑴非负性： ⑵规范性： 三、离散型随机变量及其分布 依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为 例 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘 上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离,试求随机变量X的分布函数. 解： 所以, X 的分布函数为 k 为某个常数。 注：本例中的F(x)可以表示为如下形式: 即F(x)可以表示一个非负函数在区间 上的积分. 一.连续型随机变量的定义 设 F(x) 为随机变量 X 的分布函数，若 其中 为一非负可积函数，则 X 称为连续型随机变量， 称 为 X 的概率密度（分布密度）。 注：⑴连续型随机变量的分布函数一定是连续函数。 ⑵分布函数和密度函数是相互决定的。 二.分布密度 f (x) 的性质 由此知，对于连续型随机变量X，有 。 进而对任意a, b, 有 思考：试比较密度函数与分布律的异同。 例1. 验证 能否成为某个连续型 随机变量X 的分布密度？ 解：在 上， ，但 故它不能作为随机变量 X 的分布密度。 练习：验证 能否成为某个连续 型随机变量 X 的分布密度？ ( 能,往证 即可.) 当 时， 当 时， 解：当 时， 当 时， 故随机变量 X 的分布函数为 三.几种常见的连续型随机变量的分布 ⒈均匀分布 如果随机变量 X 的分布密度为 相应的分布函数为 则称 X 在区间 上服从均匀分布，记为 。 服从均匀分布的随机变量的特点是: 它落在区间 内任意等长的子区间内的可能性相等，即其概率只依赖于 子区间的长度，不依赖于子区间的位置。粗略地讲就是， X 取 中任一点的可能性都一样。均匀分布正是这种直 观的讲法的严格化。 ⒉指数分布 如果随机变量 X 的分布密度为 其中 为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布。 易知，有 练习:求X 的分布函数。 事实上 注：指数分布具有“无记忆性”，即对任意 若用分布函数求概率 则有 ⒊正态分布 如果随机变量 X 的分布密度为 其中 为常数，则称X 服从参数为 的 正态分布（或高斯分布)。记为 。 当 时，称 X 服从标准正态分布，记为 ，其分布密度、分布函数分别用 和 来表示。 注(1) f(x)满足密度函数的两个特征性质。 称为位置参数 称为形状参数 注(2) 分布密度 f(x)、分布函数 F(