北京理工大学工科数学分析1-2数列的极限.pptVIP

定理 极限的七种形式： 二. 函数极限的性质 定理1 （唯一性） 证明： 定理2 （局部有界性） 推论： 证明: 定理3 （保号性） 定理4 证明： 推论： 子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理5 （函数极限的并归性） 证明： 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. 函数极限与数列极限的关系 例 证明： 二者不相等， 定理6. （夹逼性） 例 Hw:p36 3(2,4)，4; p39 1，3. 1. 数列:研究其变化规律; 2. 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 3. 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、夹逼性、子数列的收敛性. Review 4. 函数极限的定义 极限的七种形式： 5. 函数极限的性质 唯一性，局部有界性，保号性，夹逼性，子列并归性。 注意：1). 有界性是数列收敛的必要条件； 2). 无界数列必定发散. 3. 夹逼性 定理3. 证明： 解： 证明： 4. 保号性 定理4. 证明： 推论： 证明： ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 4. 子列收敛性 定理4 收敛数列的任意子列也收敛，且极限相同. 由此性质可知 , 限 , 例如， 发散 ! 则原数列一定发散 . 说明: 若数列有两个子数列收敛于不同的极 Hw: p36 1，2(2). 推论： 证明： §3 函数的极限 函数在有限点处的极限 单侧极限 时的极限 函数极限的性质 1. 函数在有限点处的极限 一 . 函数极限的定义 注意： 几何解释： 解： x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y) hold plot(x,x);plot(x,-x); 解： x=-1:0.01:1;y=sin(1./x); plot(x,y) 2. 单侧极限 例如, 左极限 右极限 例1 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 左极限 右极限 两种情形： 几何解释： 解： Oct. 8 Mon. Review 数列极限性质：唯一性，有界性，夹逼性，保号性，子列收敛性； 函数极限：趋于有限点，单侧极限(左右极限). 解： §2 数列的极限（limit） 数列的概念 数列极限的定义 数列极限的性质 高等数学与初等数学的差别在于： 研究对象：变量与常量； 研究方法：无限观念与有限观念。 极限概念是数学分析中一个最基本的概念，导数，定积分和级数等概念都是以极限为基础的，整个微积分是建立在极限理论之上的。 Step 1 以直代曲； Step 2 考察变化趋势。 1. 极限概念的引入 一. 数列的概念 n越大，阶梯越多，近似程度就越高，但不论n多大，总是近似的，必须考察n趋于无穷的过程。 例2. 求单位半径园的周长。 Step 1： 以直代曲，得到一系越来越逼近于圆周长的近似值； Step 2： 考察这一系列值的变化趋势，从而确定出圆周长的准确值 圆周长： . 2. 数列的定义 定义1 通项 序列 一般可以 前面只从实际例子引入极限的定性描述，现在要求用精确的数学语言来描述极限这一概念。 先从数列的概念开始。 例如 定义2. 定义3. 为有界序列。 例： 二. 数列极限(limit)的定义 极限概念的定性描述 limit “无限增大”与“无限接近”如何定量描述？ 例 如果数列没有极限,则称数列是发散的. 注意： 几何解释: 证明： 证明： 证明： 三. 数列极限的性质 1. 唯一性 定理1. 收敛数列的极限是唯一的, 即 证明： 矛盾！ 矛盾！ 例 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . Sep.28 Fri. Review 函数运算：四则运算，反函数，复合函数； 基本初等函数与初等函数； 数列：概念，子列，有界； 极限：极限思想、精确定义、几何意义，子列，有界，几个特殊数列的极限； 极限性质：唯一性。 定理2. 收敛数列必有界。 2. 有界性 证明：