专题三--泛函分析-直线点集与连续函数1.pptVIP

* 专题三 实直线上点集与连续函数 开集与闭集 点集上连续函数与一致连续函数 （区间只是点集的一类） 有界点集与无界点集 （1）如果存在M? R1 ，使?x?A，有x? M，则称M为数集A的一个上界； 1） A为有界数集?? M0, 使?x?A,有| x |? M. 2）如果数集A有上（下）界，那么它必有无穷多个上（下）界。 注： （3）如果数集A既有上界又有下界，则称数集A为有 界集。 （2）如果存在m? R1 ，使?x ?A，有x? m ，则称m 为数集A的一个下界； 定义1（有界集）设A?R1 有界点集与无界点集 注: （1）如果a为数集A的一个上（下）确界，则存在数列{xn}? A, 使得 。 定义2（确界）设A?R1使非空数集。 （1）如果存在一个实数?，满足： 1）?x?A ，有x??， 2） ?? 0, ?x0 ?-? 则称? 为A的上确界(或最小上界)。记作： （2）如果存在一个实数，满足： 1） ?x?A ，有x? ?， （2） ?? 0, ?x0 ?+? , 则称?为A的下确界(或最大下界)。记作： （2）并非任何数集都有上、下确界。 对于有限数集，其上、下确界必存在； 对于无限数集，其上、下确界未必存在。 如果数集A没有上（下）界，则没有（下） 确界，这时规定： （3）如果无限数集A有上、下确界，则其上、下确界可以属于A，也可以不属于A。 （4）如果数集A的上（下）确界属于A ，那么该上（下）确界就是A的最大（小）值；反之，如果数集A本身能达到其最大（小）值，那么该最大（小）值就是A的上（下）确界。 例1 自然数集N={1,2,…,n,…}, 例2 数集A=(0,1], 例3 数集 一、开集与闭集 1.点集的内点、边界点、聚点与孤立点 定义1 设E ?R非空点集，a ?R. (1) 设?0,称开区间(a ? ?, a + ?)=O(a, ?)为a的?邻域。 直线上包含a的任一开区间(?,?)均可称为点a的邻域 (2) 设a?E,若存在a的一个邻域(??,?),使得(?,?) ?E，则称a是E的内点； (4) ?a?R（ a可属于E, 也可不属于E), 如果a的任何邻域都既含E的点, 又含非E的点，则称a为E的边界点. (5) ?a?R, (a可属于E, 也可不属于E), 如果a的任一邻域中含有E的异于a的点，则称a为E的极限点（或聚点）. (6) 设a?E, 若存在a的某一邻域内不含有E的异于a的点,则称a是E的孤立点；如果E中的所有点都是孤立点，则称E是孤立点集； 注： 1)孤立点属于边界点; 点集的内点一定是聚点; 4)有限点集的点都是孤立点, 没有聚点,它是孤立点集. 2)集合的聚点、边界点不一定属于这个集合； 3)若a?E，但a不是E的聚点，则a必为E的孤立点 5)可列点集除聚点外都是孤立点。若聚点不属于该可列点集, 则它是孤立点集。 可列点集 的聚点是0?A, 它是孤立点集。 例如, 区间(0,1)内的每个点及0,1都是其聚点, 但0与1都不属于(0,1) 定理1 点a是集E的极限点(聚点) ?a的任一邻域中含有E中无限多个点 （根据定义） ??{xn}?E, xn?a, 使xn?a (n ??) (取邻域半径?n=1/n) 证明：“?” a极限点??n?Z, 取?n=1/n, 在a的邻域(a- ?n,a+ ?n)存在xn ?E, xn?a,即?xn-a?1/n?xn?a (n??) xn?a, xn?a (n ??) ??0, ?N, 当nN时, 有?xn-a??, 即xn ?(a- ? ,a+ ?) ? a是极限点 “?” E 0 (1) E的所有内点构成的集合称为E的内部,记作 , ( ?E); (2) E的所有边界点构成的集合称为E的边界； (3) E的所有聚点构成的集合称为E的导集, 记作E (4) 称为E的闭包；(E ?E) 2.点集的内部、外部、边界、导集与闭包等概念 定义2 设E ?R非空点集. 定理2 设A与B为直线上的两个点集 1）若A?B,则A’?B’, ? B A 2）(A?B)’=A’?B’, (A?B )= ? B A E 0 3.开集及其性质 定义3 （开集） 设E ?R非空点集. 如果E中的所有点都是内点，则称E是开集； 注：1）直线上的任何开区间都是开集；