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线性空间 线性空间的定义 2 3 类比解析几何中的R 与R ,我们可以将其推广到n维: Def: n维向量空间:定义在数域P 上,P n = f = (x ; x ;


; x ); x 2 P g 1 2 n i Def: 若有集合V =/ ?,数域P 在V 中定义了两种运算: 加法运算+,8 ; 2 V ;  + 2 V 数乘运算
,8 2 V ; 2 V ; 
2 V 满足以下8条运算规律: 关于加法: 1) 加法满足交换律8 ; 2 V ;  + = +  2) 加法满足结合律8 ; ; 2 V ;  + ( + ) = ( + ) + 3) V 中存在零元 90 2 V ;8 2 V ; 0 +  =  4) V 中任意元素存在负元8 2 V ; 9 2 V ;  + = 0 关于数乘: 5) 1
 =  6) 数乘满足结合律 l
(k
) = (l
k)
 7) (l + k)
 = l
 + k
 8) l
( + ) = l
 + l
则称V 为一线性空间 e.g. V = R+ P = R a + b = a b a
b = ba Prop: 零元的唯一性 Proof: 设0 ; 0 是V 中的两个零元, 1 2 )0 + 0 = 0 ; 0 + 0 = 0 2 1 2 1 2 1 )01 = 01 + 02 = 02 ∎ Prop: 负元的唯一性8 2 V ; 9! = ¡ 2 V 1 Proof: 设 ; 是的负元: 1 2  + 1 = 0;  + 2 = 0 ) = + 0 = + ( + ) = ( + ) + = ∎ 1 1 1 2 1 2 Prop: 8 2 V ; k 2 P ; 0
 = 0; k
0 = 0 Proof: 8 2 V ; 0
 +  = 0
 + 1
 = (0 + 1)
 = 1
 =  ∎ k = 0时, 已证 k =/ 0时, k
0 +  = k
0 + ¡k 1

 k = k
0 + k
¡ 1

k = k
¡0 + 1

k 1 = k

 k =  ∎ Prop: ¡ = (¡1)
 Proof: 1
 + (¡1)
 = (1 + (¡1))
 = 0
 = 0