13.3角平分线的性质和判定.pptVIP

例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等 角平分线的性质 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 * 图中是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? 尺规作角的平分线 观察领悟作法，探索思考证明方法： A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 练习： 　　平分平角∠AOB．反向延长ＯＣ．得直线ＣＤ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？ 　　 　　则我们得到作一条直线垂线的　　　　方法． A D E P B O C 已知如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上任意一点，那么P到角两边OA、OB的距离PD、PE有什么关系呢？你能得出什么结论？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． A O B E D P C ∵OC平分∠AOB ， 点P在OC ，PD⊥OA， PE⊥OB。 ∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等．） 几何语言： 1、 ∵AD平分∠CAB,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (______________________________) A C D E B 1 2 DC=DE 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、判断题（ ） ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = DC ， ( ) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 × D E F A B C P M N 练习：1.如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｐ F G H Ｂ Ｐ 已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝ CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F, 求证: EB＝FC 1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线； 2：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 再 见 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 ∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE. C 角平分线的判定 A O B P D E C 定理： 用符号语言表示为： ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB且PD=PE ∴ OC平分∠AOB .