北大高数GS66方向导数与梯度.pptVIP

一、方向导数 二、梯度 * §6．6 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 方向导数与偏导数的关系、 三元函数的方向导数 梯度与方向导数、 梯度的模、方向导数的最大值 等高线、 梯度与等高线的关系 三元函数的梯度、 等量面 数量场与向量场、 势与势场 设函数z?f (x，y)在点P (x，y)的某一邻域U(P)内有定义． 自点P引射线 l ．设 x 轴正向到射线 l 的转角为j ，并设 P ?(x??x，y??y) 为 l 上的另一点且P ??U(P)． 若此极限存在， 则称此极限为函数 f (x，y)在点P 沿方向 l 的方向导数， 记作 ，即 其中r ? ． O x y P l j P? ?x ?y 考虑 ， ， r 函数 在一点P0沿某一方向的变化率问题,也可 用该方向的方向余弦来描述.设直线l的方向余弦为 存在, 则称此极限值为 在 点沿方向 的方向导数.记作 或 定义 并记 ,于是有下面的定义: 定理 如果函数z?f (x，y)在点P0 (x，y)是可微分的，那么函 数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在，且有 方向导数与偏导数的关系： 简要证明： 其中 为 的方向余弦. 证毕 例1 求函数 在点(1,2)处沿从点P0(1,2)到点 方向的方向导数 解 先求函数在点P0(1,2)的两个偏导数: 再求所给方向的方向余弦.此时方向向量为 故 其方向余弦为 于是,我们得到,沿 方向 的方向导数为 x轴到射线l 的转角为j ， x 轴到 的转角为q ， 解 因为 ?sin q ． ?cos q ， 所以 ?cos q cos j ? sin q sin j ?cos(q ?j )． O x y l j q ?j q ?j 讨论函数 z?f (x，y)在点P 沿x 轴正向和负向的方向导数如何? 讨论：根据公式 = cosα+ cosβ 沿x 轴正向时， cosα =1， cosβ=0， 沿x 轴负向时，cosα =-1， cosβ =0， ； = cosα+ cosβ ． 另外,容易看到,当两个方向l1,l2恰好方向相反时,函数f ( x, y ) 沿这两个方向的方向导数相差一个负号,即 同理可讨论沿 y 轴正向和负向的方向导数. = cosα+ cosβ ， 其中r ，?x?r cos a ，?y?r cos b ， 对于三元函数u?f (x，y，z) ，定义它在空间一点P (x0,y0,z0) 处沿方向 l (设方向的方向角为a 、b 、g )的方向导数如下 ， ?z?r cos g ． 如果函数在所考虑的点处可微分， 有 = cos a ? cos b ? cos g ． 三元函数的方向导数： 即 例3 设 又设方向 l 的坐标为(1,3,1),求函数u 在点(1,1,1)的方向导数 先求 l 的方向余弦,显然 因此, 又 设函数z?f (x，y)在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对 于任一点P (x，y) ?D 及任一方向l ，有 称为函数f (x,y) 在点P 的梯度，记作grad f (x，y)或▽f(x,y)，即 grad f (x,y) ? ▽ f (x,y) = = cosα+ cosβ ?( ， )·(cosα ，cosβ )， 其中向量 劈型算子 梯度与方向导数： = cosα? cosβ ?( ， )·(cosα,cosβ ) l0 记 表示向量 g 和 l0 之间的夹角. 显然,当 g 和 l0 间夹角为零时, 达最大值 ,即有如下结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向 导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值． 梯度的模： | grad f (x，y)| ． 三元函数的梯度： 设函数u?f (x，y，z)在空间区域G 内具有一阶连续偏导数， 对于每一点P (x，y，z) ?G ，函数 u