北大高数GS67多元函数的微分中值定理与泰勒公式.pptVIP

问题的提出 一、 二元函数的微分中值定理 * §6.7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式 一、二元函数的微分中值定理 二、二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒公式 拉格朗日余项 匹亚诺余项 一元函数的泰勒公式： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函 数，并能具体地估算出误差的大小. 问题： 定理1 (二元函数的拉格朗日中值公式) 或写成 记 则上式又可写成为 证 考虑点 由定理假定可知， 在区域D内可微，记 由连锁法则， 则 由一元函数的拉格朗日中值定理，有θ∈（0,1)，使得 即 证毕. P0 D 推论 证 在区域D内任意取定一点P0,对 D内任意点P,若连线P0 P 都在D内，则 由拉格朗日中值定理，有 P0 P1 P2 Pn P ＝0. 于是 若连线P0 P不在D内，则必存在折线P0 P1 P2 … PnP D 于是，由上面的讨论，我们有 由于P为D内任意点,命题证毕. 记号 二、 二元函数的泰勒公式 一般地, 在一点 的 阶微分　　　　 为: 定理2 其中 --- 拉格朗日余项 ① 称为 f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ① 证: 则 利用多元复合函数求导法则可得: 令 证明的思路是归结到一元函数的泰勒展开式. 一般地, 由 的麦克劳林公式, 再将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.证毕 其中 则 定理2在多元函数的计算上有重要价值.其中拉格朗日余项 可用偏导数来估计. 令 所以 我们得到二元函数的带皮亚诺型余项的泰勒公式 由高阶微分的定义,不难看出 其系数为 f 在点(x0, y0)的偏导数. 这个多项式称为泰勒多项式. 例1 求函数 在点(1,1) 的二阶泰勒多项式 及带匹亚诺余项的泰勒公式. 解 先求各阶导数 因此,若令 也即 例2. 求函数 解: 的三阶泰 勒公式. 因此, *