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[例6] 已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝100. (1)求数列{bn}的通项bn； (2)设数列{an}的通项an＝lg ，记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与lg bn＋1的大小 解析：(1)bn＝2n－1. 1．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)． (1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； [解析] (1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a ＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2， 用数学归纳法证明： ①当n＝1时，由上面可得结论成立． ②假设当n＝k时，结论成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)， bk＋1＝ ＝(k＋2)2. 所以当n＝k＋1时，结论也成立． 由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立． * * 2.1数学归纳法及其应用举例 例3、用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 从n=k到n=k+1有什么变化 凑假设 凑结论 证明: 2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ 则当n=k+1时， + ＝ = ∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。 = 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立 练习：判断下列推证是否正确？ 证明：①当n=1时，左边＝ 右边＝ ， 等式成立 ②设n=k时，有 那么，当n=k+1时，有 即n=k+1时，命题成立 根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立. 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 3）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 用数学归纳法求通项公式。 证:(1)当n=1时, =1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立. 当n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)2(n＋1)n. * *
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