电磁场与电磁波ElectromagneticFieldsandWaves习题课.pptVIP

南京理工大学通信工程系 * 南京理工大学通信工程系 电磁场与电磁波 (Electromagnetic Fields and Waves) Instructed by 车文荃   习题课Dec. 3, 2009 半径为 的带电导体球，已知球体电位为U（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位函数及电场强度。 Example 1 解：球外空间的电位满足拉普拉斯方程，边界条件为: 因电位具有对称性，即 ，故拉普拉斯方程为 直接积分得 由于 ，故 ，为了决定常数 ，利用边界条件 得 因此 众所周知，带电导体是一个等电位体，故上式中 区域内电位处处等于U。电场强度 可通过求电位的负梯度得到: 平行板电容器由两块面积为S,相隔间距为d的平行导体板组成，极板间填充介电常数为 的电介质，求电容量。 Example 2 解：如图3.9.2所示，极板间电压为U,忽略电场的边缘效应，则拉普拉斯方程可简化为 又因边界条件为 很容易求得极板间任意z点的电位为: 极板间的电场强度如下所示,它是一个均匀场。 同时电通密度为: 再由导体和介质间的边界条件可得，上、下极板上的电荷密度分别为 和 ，其中 等式两边乘以S,得到 故电容量为 如果边界上已知的不是电压U，而是极板上的电荷量Q，即已知极板面上的自由电荷面密度为 ，则电通密度为 . 故极板间的电场强度为 ，于是极间电压 ，将已知的电通密度代入得 如果介质为真空，则 这样就有 这一表示式是实际测量电介质的相对介电常数 的基础。 半径分别为a和b的同轴线，外加电压U，如图3.9.6所示。圆柱面电极间在图示 角部分充满介电常数为 的介质，其余部分为空气，求介质与空气中的电场和单位长度上的电容量。 Example 3 解：介质与空气中的电位 和 必须既满足 ，又满足导体表面的边界条件和介质交界面的衔接条件。根据唯一性定理，采用试探方法求解，即假定电位的解是圆柱坐标下一维坐标r的对数函数，然后检验它们是否满足所有的边界条件。设两个区域的电位函数为 已知边界条件 则一定有 故 同时 联立求解以上两个方程，可得 所以可得 由此可知 从 角区域两介质边界上的衔接条件来看，显然有 又因 所以试探解是唯一的真实解。又根据 的导体边界条件，求得内导体表面单位长度上的电荷量为 因此同轴线单位长度上的电容为 例3.10.2 一个有两层介质 的平行板电容器，两种介质的电导率分别为 和 ，在外加电压 时，求通过电容器的电流和充电时积聚在交界面上的自由电荷密度。电容器的结构如图3.10.4所示。 Example 4 解：我们仍近似地认为电容器电极由理想导体构成，故电容器极板是等位面(介质中的电流密度是法向的），设电流为 ，则两种介质中的电流密度为 式中 为极板的面积，两介质内的电场强度分别为 外加电压等于 所以电流为 第一层介质中的电位移为 第二层介质中的电位移为 上极板表面的正自由电荷为 (导体和介质分界面的边界条件) 下极板表面的负自由电荷为 (导体和介质分界面的边界条件)