电磁场与电磁波　第一章第四节.pptVIP

1.4 矢量场的环量和旋度 斯托克斯定理 * 一. 矢量场的环量（环流） 1. 矢量场做功： P1 ? ? P2 2. 环量的定义： 环量的计算 一. 矢量场的环量（环流） 直角系中 圆柱系中 球系中 3 环量的物理意义： ——表明c包围涡旋源 ——表明c不包含涡旋源 水流沿平行于水管轴线方向流动 ?=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动 ??0，有产生涡旋的源 例：流速场 F做正功，F与c方向大体一致，动能增加 F做负功，F与c方向大体相反，动能减小 引力场G c1 c2 G 涡旋场F 旋转的粒子流 二. 矢量场的旋度 1. 旋度的定义： 对M点，仿照散度的定义，取 （——环量面密度） 显然，上面的算式与积分路径的选取有关，即与面元的方向有关。 M ? A c1 c2 c3 n3 n2 n 定义： (rotation) 矢量的旋度在面元矢量上的投影 旋度与环量密度的关系为 其中 n 是最大环量密度所在环路的单位法线方向而与 n 相垂直的面则称为涡旋面或旋涡面 则 分别是rotA在 n3、n2上的投影 即 M ? A c1 c2 c3 n3 n2 n 正交系中，矢量场A在任意点M点的旋度可定义为： 式中?S1、 ?S2 、 ?S3分别是任意环路所围成的面在a1 坐标面、a2坐标面和a3坐标面上的投影，其边界分别 是c1、c2和c3。 2. 旋度的数学计算式： 设M点在环路1-2-3-4-5-6-1所 张的一个面上，该面在直角系 三个坐标面上的投影分别为 y M 1 2 3 4 5 6 x z ?Sz ?Sx ?Sy cy — M561M— ?Sy 由图可知： cz — M123M— ?Sz cx — M345M— ?Sx M 1 2 3 4 5 6 x y z ?Sz ?Sx ?Sy 同理可得： 在正交坐标系中 注意：行列式只能对第一行展开， 展开中对第三行元素求导 柱坐标： 球坐标： 矢量场旋度的例子 具有两个相同旋转方向的旋的矢量场 矢量场旋度的例子 具有两个相反旋转方向的旋的矢量场 求A= axx2 + ayy2 + azz2 沿着 xy面上的一个闭合回路c的线积分。如图所示，再计算??A。 P(2,??) 2 y2=x O y x 解： 回路c在xOy面上，dz = 0 = 0 例1.6 A = ax x2 + ay y2 + az z2 = ar r2是辐射状的场， 可以证明，F = ar f (r) 这类场必定是无旋的。 A= axx2 + ayy2 + azz2 P(2,??) 2 y2=x O y x 3. 旋度的性质： a. 一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。 b.某点旋度的大小是该点环量密度的最大值， 其方向是最大环量密度的方向。 c. 旋度具有环流面密度的量纲。 d. 旋度不为零的点(??A=J?0,)有产生矢量场的能力, 称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源) 。 旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力 若矢量场处处??A=0，称之为无旋场。 e. ? ? ( A + B ) = ? ? A + ? ? B ? ? ( ? ? A ) = 0 说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即若??A=0 ，则一定对应着一个矢量场，使B=??A。 *