正余弦定理和解斜三角形专题(含答案).docVIP

正余弦定理和解斜三角形 【基础梳理引导】 1.正弦定理：===2R，其中R是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,cosA=. 3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB,S△= =Sr(S=,r为内切圆半径)=(R为外接圆半径). 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA. 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos=sin, sin=cos…… 在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC是正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列且a、b、c成等比数列. 一、【题型研究】填空题 1．在中，已知，则___________2或1 2．已知等腰三角形的底边上的高与底边长之比为，则它的顶角的正切值是______ 3．在中，，则_______________ 4．在中，，则 5．在中，若，则________________ 6．在中，已知，若此三角形有两解，则的取值范围是_________ 7．在中，，则三角形的形状为________________等边三角形 8．在中，若，试判断三角形的形状___________等腰三角形 由，得，化简得，，，即是等腰三角形。 9．在中，，则的取值范围是_____________ 10．在中，若，则等于___________ ，， ， 二、【题型研究】选择题 11．的三内角所对边的长分别为.设向量，．若，则角的大小为 （　 　）B Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则B A． B． C． D． 13. 的三内角、、成等差数列,的平分线交边于点,若,,则＝（ ） A.1 B. C. D.2 13．在中，若则此三角形是 （ B ） A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 14．在中，若，那么其三边关系式为 （ B ） A. B. C. D. 15．在中，为三角形三条边，且方程有两个相等的实数根，则该三角形是 （ A ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 16.已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则是 （ A ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 三、【题型研究】解答题 17．在中，若。（1）求；（2）若，求的值。 解：（1）由题设得，即，解得，故；（2），即，将代入，得，解得或。 18.【题型研究】【2010年陕西】叙述并证明余弦定理。 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有 ，，. 证法一 如图， 即 同理可证 ， 证法二 已知中所对边分别为，以为原点， 所在直线为轴建立直角坐标系，则， 19.【题型研究】【2010年陕西】 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长. 解 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos=, ADC=120°, ADB=60°在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°， 由正弦定理得, AB=. 20. 【题型研究】在△中，已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，△的面积是，求． （Ⅰ）解：由，得．…3分 所以原式化为．因为，所以 ， 所以