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第四章 离散傅立叶变换（DFT） 第一节 傅立叶变换的形式 第二节 周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本性质 第三节 离散傅立叶变换（DFT） 第四节 离散傅立叶变换的性质 第五节 频域抽样理论 第六节 DFT的应用 第七节 离散傅立叶变换的Matlab仿真 小结 第一节 傅立叶变换的几种形式 一、 引言 二、 傅立叶变换的几种形式 一、 引 言 傅立叶变换对于信号的分析处理发挥了重要作用，而随着计算机技术的迅速发展，由于计算机无法处理连续的周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立叶变换，简称（DFT） 离散傅里叶变换（DFT），也是一种有限长序列的傅里叶变换。离散傅里叶变换在频率域也以序列表示，它不再是连续函数。离散傅里叶变换实际上相当于该信号的傅里叶变换的有限点离散采样。DFT解决了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。 二、傅立叶变换的形式 按照信号连续和周期性的不同，傅立叶变换一共可以分为4种： 1、周期信号的傅立叶级数（FS） 2、非周期信号的傅立叶变换（FT） 3、离散时间序列的傅立叶变换（DTFT） 4、离散傅立叶级数（DFS） DFT可看作 DFS时域、频域各取一个周期 通过对表分析可以发现： 若时域连续，则频域具有非周期性，而若时域离散则频域具有周期性。  第二节 周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本性质 一、 周期序列的离散傅立叶级数 二、离散傅立叶级数的基本性质 一、周期序列的离散傅立叶级数 若信号周期为T，在每个周期内以间隔对其采样， ，得到离散周期序列： 1、线性关系 如果周期为N 的两个周期序列 　　　　　 组合成 则的离散傅里叶级数的系数 (4-2-10) 式中所有序列均为周期序列，周期同为N。 二、时域移位特性 如果的傅里叶系数为，则所对应的系数将为，此时设mN (如mN，可替换成以m′表示，m′=m（模N），它将小于N )。为了求证这个结果， 我们设 则 (4-2-11) 如果令n+m=n′，那么 同时，对于 也可求得其 三、频域移位特性 的傅里叶系数为 。 证明： 设 则 四、对称性 傅里叶变换相仿，一个周期序列的傅里叶级数表示式同样具有某些对称性质。 而 的傅里叶系数将为 ： 第三节 离散傅立叶变换（DFT） 一、 DFT的定义 二、 DFT和Z变换的关系 一、 DFT的定义 DFS在时域和频域都离散，但都具有周期性，和都是无限长。而计算机无法处理连续的周期的信号，取的一个周期， 则定义的N点离散傅立叶变换DFT为 和 长度都为N，具有唯一的映射对应关系。若N小于 的序列长度，则会出现时域混叠现象，不能正确反映信号的频谱。 DFT实际上来自于DFS，相当于在时域和频域各取一个周期，对其作周期延拓，即可得到 和 。 例题 二、DFT和Z变换的关系 长度为N的有限长序列 ，其Z变换和DFT变换分别为 令 ，可得： 式4-3-6说明， 的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N 点等间隔采样，而连续谱 经N 点等间隔采样后即为离散谱 第四节 离散傅立叶变换的性质 一、线性关系 二、序列的循环位移 三、循环卷积定理 四、共轭对称性 五、帕斯瓦尔（Parseval）定理