41. 四边形综合练习（二）.docVIP

第四章 四边形综合练习 【例题精选】： 例1：已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，且AE=AF，求证：CE=CF，从图形上观察到：CE和CF分别在ACEB和ACFD中，不难证明，这两个三角形全等，命题得证； 证明： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD，BC=CD，∠B=∠D=90( 又∵AE=AF（已知） ∴AB—AE=AD—AF（等量减等量，差相等） 即：EB=FD ∴(CEB≌(CFD ∴CE=CF 例2：已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，求证：AE=AF， 分析：从图上可以观察到：AE在(ABE中，AF在(ADF中由菱形ABCD，可以得到：AB=AD，∠B=∠D，BE和DF能相等吗？由E、F分别是BC、DC的中点不难证明，所以我们看出，这两个三角形是全等的，故AE=AF。 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，BC=CD，∠B=∠D 又∵E、F分别是BC、CD的中点 ∴BE=BC，DF=CD ∴BE=DF ∴(ABE≌(ADF ∴AE=AF 例3：已知：如图，正方形ABCD中，P是CD上一点，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，求证：AE=DF。 分析：欲证AE=DF，首先要考虑AE和DF所在的两个三角形能否全等，从图上可以观察到：AE在(AEB中，DF在(DFA中，由四边形ABCD是正方形，不难证明这两个三角形全等。 证明：∵四边形ABCD是正方形∠DAB=90( ∴AB=AD 即：∠1+∠2=90( 又∵BE⊥AP于E，DF⊥AP于F ∴∠AEB=∠DFA=90( ∠1+∠3=90(（直角三角形中，两个锐角互余） ∴∠2=∠3 ∴(AEB≌(DFA ∴AE=DF 例4：已知：如图，点P是矩形ABCD外一点，且PA=PB 求证：PD=PC 分析：从图上可以观察到：PD在(PAD中，PC在(PBC中。 我们首先要考虑的是这两个三角形是否全等，结合已知可以得到：AD=BC，∠DAB=∠CBA=90(，又因为PA=PB，可以得到∠1=∠2，这样就有∠PAD=∠PBC，满足三角形全等条件，命题得证。 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴DA=CB，∠DAB=∠CBA=90( 又∵PA=PB ∴∠1=∠2 ∴∠DAB+∠1=∠CBA+∠2 即：∠DAP=∠CBP ∴(PAD≌(PBC ∴PD=PC 例5：已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OF⊥BC于F，CE⊥BD于E，且DE∶EB=1∶3，OF=3cm，求AC的长 分析：若求AC的长，由已知OF=3cm，只有知道了AC与OF的关系，才能求出AC的长，这种关系还要通过其它已知条件进行探寻。 当DE∶EB=1∶3时，不难看出：E是OD的中点，又由CE⊥OD于E，得到(CED≌(CEO，即：CD=OC，进而由矩形对角线相等，得到CD=OC=OD(ODC是等边三角形∴∠OCD=60(，∴∠OCF=30(，∴OC=2OF，关系明确AC可求。 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OC=OA，OB=OD，∠DCB=90( ∴OC=OA=OB=OD ∵DE∶EB=1∶3 ∴DE∶DB=1∶4， ∴ED=DB ∴E是OD的中点，即：DE=OE 又∵CE⊥BD于E ∴∠DEC=∠CEO=90( 又∵CE是公共边 ∴(CED≌(CEO ∴CD=OC ∴CD=OC=OD ∴(COD是等边三角形 ∴∠DCO=60( ∴∠OCF=30( 又∵OF⊥BC于F，OF=3cm ∴OC=2OF=6cm ∴AC=2OC=12cm 例6：已知：如图，在Rt(ABC中，∠A=90(，∠B的平分线交AC于D，自A作AE⊥BC于E，交BD于F，过点D作DH⊥H，连结FH。 求证：四边形AFHD是菱形 分析：通过认真观察图形，结合已知条件，不难看出，四边形AFHD，AD=DH，这是因为：∠1=∠2，∠A=90(，DH⊥BC于H，角平分线上一点到角两边的距离相等，而且，由定理：和一条在线垂直的两条直线平行，不难得出：AF∥DH，下面的难点是，如何证明AF=DH？满足平行四边形的判定定理。再认真观察图形，可以发现，∠3+∠1=90( ∠5+∠2=90(，∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠3=∠4，所以AF=AD=DH，至此思路已通。 证明：∵(ABC中，∠BA90(，DB是∠B的平分线，即：∠1=∠2，DH⊥BC于H。 ∴∠1+∠3=90( ∴A