转化思想在数学解题中的应用精选.docVIP

转化思想在?数学解题中?的应用 谢全苗 客观事物在?不断地运动?变化，事物之间在?互相转化。反映在数学?上的转化思?想就是在处?理问题时，把待解决或?难解决的问?题，通过某种转?化，变为一类已?经解决或比?较容易解决?的问题，最终求得原?问题的解决?。 波利亚指出?：“解题过程就?是不断变更?题目的过程?”。转化思想就?是要求我们?换一个角度?去看，换一种方式?去想，换一种语言?去讲，换一种观点?去处理，以使问题朝?着有利于解?决方向不断?变更，从不同的角?度和特征出?发，把同一问题?用不同的形?式在不同的?水平上转化?出来。转化就如同?“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们?对能解决的?问题不再停?留在解决的?层面上，而且让我们?能站得更高?、看得更清、想得更好、表叙得更简?洁，做到既知道?有几种解法?，又明白以怎?样方向入手?去解才是最?简。下面举例说?明。 1 换一个角度?去看 例1 若正数a、b满足，则ab的取?值范围是_?_____?____。（1999年?全国高考题?） 分析 本题有多种?解法，此题若由直?接推出ab?的取值范围?是走不通的?，现在只能换?一个角度，用转化的思?想，由于a、b是正数，显然成立，当且仅当a?=b时取等号?。把等式转化?为关于ab?的不等式，这是关键的?一步。解不等式（舍去），所以。即ab的取?值范围是[9，。 例2 如图1，已知梯形A?BCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向?线段AC所?成的比为λ?，双曲线过C?、D、E三点，且以A，B为焦点，当时，求双曲线的?离心率e的?取值范围。（2000年?全国高考试?题） 分析 一看到这个?题，不要说当年?一些普通考?生望题兴叹?，就是一些基?础不错的考?生也没了头?绪，这不但是由?于它是一个?双参数范围?问题，而且是在未?知双曲线方?程的情况下?来求离心率?e的取值范?围，再加上大家?期望要用上?的已知条件?：，又是大家在?日常解题中?着实有点感?到后怕的“点E分有向?线段AC所?成的比”。这时，一些思维灵?活，能换一个角?度去看的学?生就有了用?武之地： 他们首先看?到题设中无?系无方程，因此，用分而治之?的策略，从建立坐标?系，确立方程的?形式入手： 如图1，以AB的垂?直平分线为?y轴，以AB所在?直线为x轴?，建立直角坐?标系xOy?，则CD⊥y轴。因为双曲线?过C、D，且以A，B为焦点，由双曲线的?对称性知C?、D关于y轴?对称，并设双曲线?方程为，则离心率。 在做好这一?基础性工作?的前提下，如何由λ的?范围来求e?的范围就成?了解决本题?的思维核心?，他们看到这?个双参数问?题中，λ和e既互?相制约，又在一个矛?盾中统一（统一在一个?方程里），这是考查学?生在解题某?个阶段视哪?一个为主元?，哪一个为辅?元，而在解题另?一个阶段，又需要主辅?互换，反客为主，真是个考查?辩证思维，灵活转化的?绝妙压轴题?。题虽难，但也正是考?生一显身手?，展示自己思?维能力的好?地方，也是与众考?生一决高下?的分水岭。因此，他们根据λ?的范围已知?这一条件，进而确立：先视λ为主?元，再视e为主?元，找出两个参?数之间的关?系，将问题转化?为已知范围?，再解不等式?，由此求出参?数e的范围?这样一个整?体的思路和?思维策略。 于是，他们先视λ?为主元，找λ的关系?式： 依题意，记A（－c，0），C（），E（），其中为双曲?线的半焦距?，h是梯形的?高。由定比分点?公式得：。 但在如何再?视e为主元?，找出两个参?数之间的关?系时，又一次体现?思维水平的?层次性。 视角1 视点C、E为直线A?C与双曲线?的交点，这时，虽能把方程?代入。这一常规思?路虽正确，解题方向也?不错，但要用上这?一方程不但?难，而且繁，在应试的情?况下当然应?另辟蹊径。思路敏锐的?学生在不代?前就暂时放?弃了。 视觉2 视点C、E在双曲线?上，将C、E的坐标和?代入曲线的?方程，得 ① ② 由①得：③ 将③式代入②式整理得：。 由题设。 所求双曲线?的离心率e?的取值范围?是 视觉3 视AC、AE为点C?、E到焦点A?的距离，由焦半径公?式得： 而AC、AE同号，从而 所以 由题设 所以双曲线?的离心率e?的取值范围?是 这里同是C?、E二点，但由于解题?转化思想的?运用，从不同的视?角出发，使解题的切?入点和解题?的方向各不?相同，对同一问题?解答所用的?知识、方法也不同?。其中视角二?下的方法比?较简单，而视角三下?的方法，运用焦半径?公式来解，在简捷中更?显得灵活，真是：“横看成岭侧?成峰，远近高低无?一同”。 2 换一种方式?去想 例3 试求常数m?的范围，使曲线的所?有弦都不能?被直线垂直?平分。 分析 本题看上去?并不难，就两句话，但真做起来?却不容易