转化思想在数学解题的应用精选.docVIP

转化思想在数学解题的应用 浙江省上虞中学（312300） 谢全苗 客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化．反映在数学上的转化思想就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决． 波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程”．转化思想就是要求我们换一个角度去看，换一种方式去想，换一种语言去讲，换一种观点去处理，以使问题朝着有利于解决方向不断变更，从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来．转化就如同“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们对能解决问题不再停留在解决的层面上，而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表叙得更简洁，做到既知道有几种解法，又明白以怎样方向入手去解才是最简．下面举例说明． 换一个角度去看 例1 若正数、满足＝＋＋３，则的取值范围是　　　　．（1999年全国高考题） 分析：本题有多种解法，此题若由＝＋＋３想直接推出的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于、是正数，显然＋≥２成立，当且仅当＝时取等号．把等式＝＋＋３转化为关于的不等式≥２＋３，这是关键的一步．解不等式－２－３≥０得≥３或≤－１（舍去），∴≥９．即的取值范围是［９，＋∞　中=2, 点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点,且以,为焦点，当≤≤时，求双曲线的离心率的取值范围.(2000年全国高考试题) 分析：一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：≤≤中的，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点分有向线段所成的比”．这时，一些有思维灵活，能换一个角度去看的学生就有了用武之地： 他们首先从审题后看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手： 如图１以的垂直平分线为轴, 以所在的直线为轴,建立 直角坐标系,则⊥轴. 因为双曲线过、,且以,为焦 点,由双曲线的对称性知、关于轴对称，并设双曲线方程为 —=1 (＞0,＞0), 则离心率=． 在做好这一基础性工作的前题下，如何由的范围来求的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到在本题这个双参数问题中，和既互相制约，又在一个矛盾中统一(统一在一个方程里)，这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维，灵活转化的绝妙押轴题．这虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭．因此，他们根据的范围已知这一条件，进而确立：先视为主元，再视为主元，找出两个参数之间的关系=，将问题转化归为已知范围，再解不等式，由此求出参数的范围这样一个整体的思路和思维策略． 于是，他们先视为主元，找的关系式： 依题意，记 (,0 ) , (,)，(,)，=为双曲线的半焦距，是梯形的高.由定比分点公式得：== ， =． 但在如何再视为主元，找出两个参数之间的关系=上，是又一次体现思维水平的层次性． 视角一：视点、为直线ＡＣ与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入—=1得：．这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径．思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了． 视角二：视点、在双曲线上，将、的坐标和=代入双曲线的方程,得 —=1 　　　　　 ① ·—=1 　　　　　 ② 由①得：=— 1 ③ 将③式代入②式整理得: (4)=1+2, 故得=1 . 由题设≤≤ , 得 ≤1 ≤ ,故得 ≤≤. 所以双曲线的离心率的取值范围是[.]． 视角三：视、为点、E到焦点Ａ的距离，由焦半径公式得： ，　　． 而、同号，从而　． 所以　　　． 由题设≤≤ , 得 ≤1 ≤ ,故得 ≤≤. 所以双曲线的离心率的取值范围是[.]． 这里同是、二点，但由于解题转化思想的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法和也不同．其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”． 换一种方式去想 例３　试求常数范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分． 分析：本题看上去并不难，就两句话，但真做起来却不容易，难在用习惯的思维方式难以直接将“所有弦都不能被直线垂直平分”的题意转化为数学关系式．因此，解决本题的关键是要换一种方式去想，这里是