华中科技大学,电信系信号与系统复习第三章.pptVIP

第三章 信号分析 §3.1 引言 信号分析——研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情 况去考察信号的特性。 问题： 1、选择作为信号分量的单元函数的原则是什么？ 2、怎样的一个函数集才能完全地表示各种复杂信号？ 付里叶级数 §3.2 信号表示为正交函数集 3.2——1 矢量的分量和矢量的分解 从解析角度： 令 结论：若要用一矢量的分量去代表原失量而误差矢量最小，则此分量只能是原 矢量的垂直投影。 当? = 0 时， 令 、 分别表示x方向和y方向的单位矢量，则 、 、 的关系： 成为归一化正交矢量集。 3.2——2 信号的分量和信号的分解 信号=函数 ? 单值函数 1、正交函数 设在区间（t1,t2)内，有f1(t)和f2(t),若再此区间内用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来近似地代表原函数f 1 (t), 将有一误差函数?(t)为： ?(t)= f1(t) - c12f2(t) (3---9) 令 由此可得 当 C12=1 时， f1(t)= f2(t) , ?(t)=0 随着C12?， ?(t) ? 当 C12=0 时， f1(t)= f2(t) 在区间(t1,t2)内正交。 显然， f1(t)和 f2(t) 在区间正交的条件是： C12=0 或 试用sint在区间（0，2 ?）内近似 表示此函数，且使方均误差最小。 解： f(t)在区间（0，2 ?）内近似 为 f(t)?C12sint 例2—2 试用正弦函数sint在区间（0，2?）内来近似表示余弦函 数cost。 解： 由于 2、正交函数集 设有n个函数g1(t),g2(t),…gn(t)构成的一个函数集，这些函数在区间(t1,t2)内满足如下关系： 同时 这样 3、信号在完备正交函数集中的分解 定义一：如果在正交函数集{g1(t),g2(t),…gn(t)}之外，不存在函数x(t)。 定义二：如果在正交函数集{g1(t),g2(t),…gn(t)}在区间（t1, t2）内 近似表示函数f( t ),即 3.2—3 复变函数的分解 设f1(t)和f2(t)是实变量t 的复变函数，若f(t)在区间(t1,t2)内，可 以由c12f2(t)来近似，则有： f1(t)?c12f2(t) 方均误差由误差函数的模的平方来计算，即 如果在区间(t1,t2）内，复变函数集?g1(t),g2(t),…gn(t)?满足 以下关系： §3.3 信号表示为付里叶级数 三角函数是一种完备正交函数集，周期信号展开为各三角函数 分量的叠加。 3.3—1 三角付里叶级数 对于任何一个周期为T的周期信号f(t),若满足狄利希莱(Dirichlet) 条件，则可在区间(t1,t1+T)内表示为三角付里叶级数： 一般来说，n越大， 越小；当n??， ?? 因此，在区间(0,T)内f(t)可表示为： f(t)=4/?(sin?t+1/3sin3 ?t+ 1/5sin5 ?t+…) 3.3—2 指数付里叶级数 当n取??至??包括0在内的所有整数，则函数集ejn?t（其中n=0、 ±1、±2）为一完备的正交函数集。任意函 数f(t),可在（t 1,t1+T)内 用此函数集表示为： 根据欧拉公式cos??1/2(e j??e -j?),可知 cos（n?t??n)?1/2[e j （n?t? ?n) ?e -j (n?t??n)] 又 An=A-n, -?n= ? -n 令a0= A0 ,得 3.3—3 函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系 波形的对称性分两类： （1）、对整周期对称。如偶函数和奇函数。 （2）、对半周期对称。如偶谐函数和奇谐函数。 1、偶函数和奇函数