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数学分析选讲第4章n
第四章 积 分 1 1 第11节 定积分的性质与函数可积性的证明 R R 设函数f: [a, b]→RR. 满足x = a x x … x = b的有限点集P= {x, x, … , x} 0 1 2 n 0 1 n 称为[a, b]的分割. 数|| P|| = max {x − x | i= 1, 2, …, n}称为P的模, 区间[x , x ](i= 0, i i−1 i −1 i 1, …, n) 称为P的子区间. 若|| P||→0 时Riemann 和σ ( f) = n (x ≤ξ ≤ x , f(ξ )∆x − P ∑i=1 i i i 1 i i ∆ x= x − x )的极限存在, 则称f在[a, b]上Riemann 可积, 简称可积, 并称此极限值为f在 i i i−1 b b a b a [a, b]上的(定)积分, 记为 f或 f(x) dx. 对b a, 定义 f= − f. 又, 定义 = 0. ∫a ∫a ∫b ∫a ∫a f 设f有界, P= {x, x, … , x}是[a, b]的分割, m, M是f在[x , x ]上的上、下确界. 数 0 1 n i i i−1 i S ( f) = n M ∆x 与 s ( f) = n m∆x P ∑i=1 i i P ∑i=1 i i 依次称为f关于P在[a, b]上的上、下和. 数 b b ∫ f= inf S ( f) 与 ∫ f= sup s ( f) P P a a 依次称为f在[a, b]上的上、下积分, 其中的确界是对[a, b]的所有分割取的. 下列Darboux b b 定理成立: || P|| → 0 时s ( f) →∫ f, S ( f) →∫ f. P P a a
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