四年级奥数——高斯求和.doc

第3讲 高斯求和 　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 　（1+100）×100÷2＝5050。 　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如： 1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。 　　其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： =（首项+末项）×项数÷2。 项数=（末项-首项）÷公差+1。 末项=首项+公差×（项数-1）。 对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。即为中项定理 【例题讲解及思维拓展训练】 例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得 　　原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 　　注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。 1、11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。 原式=（11+31）×21÷2=441。 2、3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。 例2 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。 12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表： 由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。 1）最大三角形面积为 　（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）。 　 （2）火柴棍的数目为 　　3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。 【思维拓展训练三】 1、盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？ 分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了 　2×1＋2×2＋…＋2×10 ＝2×（1＋2＋…＋10） ＝2×55＝110（只）。 　　加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。 　　综合列式为： 3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。 例题4 建筑工地有一批砖，码成如下图的形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比它上面一层多4块砖，已知最下一层2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【思维拓展训练三】 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少？ 【课堂巩固训练题】　　 1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。 求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的