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矩阵论 §3.3 矩阵的UR分解 A ∈Cn×n 定义3.9如果非奇异矩阵 能够分解成 U 正交（酉）矩阵 与非奇异上三角矩阵 的乘积 R A UR 则称为A 的UR分解. A 定理3.10 设 是 n 阶非奇异矩阵，则存在酉矩阵 U 和非奇异上三角矩阵R, 使 A 有UR分解； 且除去相差一个对角元素的绝对值（模）全等 于1的对角矩阵因子外，分解是唯一的. 西安理工大学 1 1 矩阵论 证明： 证明：设 A 的n个列向量依次为 a , a , , a 1 2 n 因为A 非奇异，所以n个列向量线性无关 按Schmidt正交化方法正交化，求n 个标准正 交列向量 q , q , , q 1 2 n b a 1 ⎧1 对 a , a , , a 正交化有 1 2 n ⎪ b a k b − ⎪ 2 2 21 1 ⎨ ⎪ − − −⎪ b a k b k b (a , b ) n n n n ⎩n , 1 − 1 − 1 n 1 其中 kij i j ( j =i) (b , b ) j j a b ⎧1 1 ⎪ a b =+k b 将上式改写为 ⎨⎪2 2 21 1 ⎪ ⎪ a b =+k b ++k b − − 西安理工大学 ⎩n n n ,n 1 n 1