第二章-一般性线性方程组求解.ppt

2) ? = 1 时, 利用★式最后一个矩阵, 得 得同解方程组: 令 x2 = C , 得通解 两种解法的比较: 解法1. 优点: 计算相对较简单 缺点: 只适用于未知量个数 = 方程个数 的情形 解法2. 优点: 适用于任何线性方程组 缺点: 作初等变换时寻找规律稍微复杂, 而且, 用含参数的表达式作初等变换时, 遇到特殊情况还要进行讨论 (例如若用? 除某行, 则要对? = 0 的情形进行讨论) 第四节 非齐次性线性方程组 1. 有解的条件 定理3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。 2. 解的性质 性质： 是 的解，则 是 对应的齐次线性方程组 的解。 分析: 3. 解的结构 若 有解，则其通解为 其中 是（1）的一个特解， 是（1）对应的齐次线性方程组 的通解。 1. 证明 是解； 2. 任一解都可以写成 的形式。 例 : 求解非齐次方程组 解： 令 则 为任意常数） 法1： 法2： 令 得 又原方程组对应的齐次方程组的通解是 令 得基础解系 所以原方程组的通解是 为任意常数） 例： k取何值时有唯一解, 无穷多解或无解， 有无穷多解时求出通解. 解： 法1： 法2：利用Cramer法则 有无穷多解， 即 当 时， 当 时，即 且 时，方程组有唯一解。 所以方程组无解。 代数不过是书写的几何, 而几何不过是图形的代数. 索菲娅? 格梅茵 (1776-1831 德国女数学家) 代数不过是书写的几何, 而几何不过是图形的代数. 索菲娅? 格梅茵 (1776-1831 德国女数学家) 代数不过是书写的几何, 而几何不过是图形的代数. 索菲娅? 格梅茵 (1776-1831 德国女数学家) 代数不过是书写的几何, 而几何不过是图形的代数. 索菲娅? 格梅茵 (1776-1831 德国女数学家) 定义: 注: （1）只含零向量的向量组没有最大无关组. 简称最大无关组。 对向量组I，如果在I中有r个向量 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 线性无关。 （1） 那么称部分组 为向量组 的一个最大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的最大无关组线性 表示 例如：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是最大无关组。 还可以验证 也是一个最大无关组。 注：一个向量组的最大无关组一般不是唯一的。 此例表明: 向量组可用其极大无关组作“全权代表” (4). 证明向量组 I 与它的极大无关组 A0等价 . 证: 由极大无关组的定义, I中任一元素都可由A0 线性 表示, ? I可由A0 线性表示; 反之, 因A0 ? I , ? A0 可由I 线性表示, 因此, I 与 A0等价. 最大无关组的一个基本性质： 任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的最大无关组不唯一，而每一个最大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个最大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 一个向量组的任意两个最大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 结论： 3. 向量组的秩 定义13：向量组的最大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 秩为2。 例如：在向量组 中， （3）等价的向量组必有相同的秩。 关于向量组的秩的结论： （1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 线性无关 向量组 线性相关 三. 向量组的秩与最大无关组的求法 n 维列向量组 因此, 可以用矩阵研究向量组. 求向量组的秩与极大无关组的依据: 矩阵的初等行变换不改变其列向量组的线性关系 证明如下 ★ 矩阵的初等行变换不改变其列向量组的线性关系. 证: 设 则齐次线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 为同解方程