应用数理统计第一章数理统计的基本概念.pptVIP

推论2 (两正态总体样本均值差的分布) 分别是这两个样本的 且X与Y独立, X1,X2,…, 是取自X的样本, 取自Y的样本, 分别是这两个样本的样本方差, 均值, Y1,Y2,…, 是 样本 则有 证明： 推论3 (两正态总体样本方差比的分布) 分别是这两个样本的 且X与Y独立, X1, X2,…, 是取自X的样本, 取自Y的样本, 分别是这两个样本的样本方差, 均值， 则有 Y1,Y2,…, 是 样本 样本均值的分布 总体X～N(μ,σ2 )， (X1,X2,…,Xn)是X的样本 样本均值 服从正态分布，且 三 顺序统计量及其分布 X(1) = min(X1, X2, …, Xn ) R=X(n)-X(1) X(n)=max(X1, X2，…，Xn ) 称为最小顺序统计量 称为最大顺序统计量 称为样本极差 称为样本中位数 最大和最小顺序统计量的分布 最大顺序统计量的分布 最小顺序统计量的分布 记为 定义4: 设 相互独立, 都服从标准 正态分布N(0,1), 则称随机变量 所服从的分布为自由度为 n 的 分布. n 为独立随机变量的个数 统计上的三大分布:χ2-，t-，F-分布 §1.3 几个重要的分布 分布的概率密度函数为 来定义. 其中伽玛函数 通过积分 n=2 时,其密度函数为 是参数为1/2的指数分布. 1?? 设 相互独立, 都服从正态分布 则 分布的性质 2 (可加性) 设 且 X1, X2相互独立，则 则 3 若 E(X)=n, D(X)=2n 推广： 性质3的证明 则 设 相互独立, 例6 设总体 ，且 为抽自总体X的样本,则 得到 记为T～t(n). 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 定义5: 设X～N(0,1) , Y～ , 且X与Y 相互独立，则称随机变量 2 t 分布 t 分布又称学生氏(student)分布. 概率密度函数： 图形： 形状: 中间高, 两边低, 左右对称. 性质1: 密度函数关于y轴对称，且 性质2: 中间高, 两边低, 左右对称，且 性质3：设 T～t(n ), 则 定义6: 设 X与Y 相互独立，则称随机变量 服从自由度为m及 n 的F分布，记作 F~F(m,n)，m称为第一自由度，n称为第二自由度. 3 F分布 若 X~F(m,n)， X 的概率密度为 性质1 性质2 当总体为正态分布时，给出几个重要的抽样分布定理. §1.4 几个重要的抽样分布定理 正态分布的重要性质 则 则 特别地, i.i.d. 若 ~ 证明： 定理 2 (基本定理) 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本, 分别为样本均值和样本方差, 则有 推论1 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本, 分别为样本均值和样本方差, 则有 证明：由定理2 所以 * 一 总体与个体 第一章 数理统计的基本概念 §1.1 一些基本概念 一个统计问题总有它明确的研究对象. 总体：研究对象全体所组成的集合 个体：总体中的每一个元素 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况。 用数量指标 X 刻画研究对象 总体:数量指标 X 所有可能值的全体 个体:数量指标 X 的每一个值 X 可以是一维，也可以是多维 例1 研究某厂生产的一批灯泡使用寿命 例2 研究北京理工大学学生的身高和体重 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量. 因此，随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布. 这样，一个总体就可以对应于一个随机变量. 对总体的研究转化为对表示总体的随机变量 X 的统计规律性的研究, 随机变量X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征. 二 样本和样本分布 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中随机抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量. 1 样本 从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验 样本容量为5 但是，一旦取定一组样本，得到的是 n个具体的数