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第九讲 二重积分 一、考试要求 1、理解（了解）二重积分的概念，了解二重积分的基本性质。 2、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。 3、会计算无界区域上的较简单的二重积分（数三、四） 二、 内容提要 1、 定义 2、 性质 1） 线性运算性质 2） 积分可加性： 3）如果在D上( f(x( y)(g(x( y)( 则 4）设M、m分别是f(x( y)在闭区域D上的最大值和最小值( (为D的 面积( 则有 5）设函数f(x( y)在闭区域D上连续( ( 为D的面积( 则在D上至少存在一点((( ()使得 3、几何意义 二、重要公式与结论 二重积分的对称性质 1) D关于x轴对称 D1为D的上半平面。 2) D关于y轴对称 D2为D的右半平面。 3) 轮换对称性： 若x, y互换后区域D不变，则 三、典型题型与例题 题型一、基本概念及性质 例1、设闭区域 f(x,y)为D上的连续函数，且 求f(x,y). 例2、（0534） 设,,, 其中，则 (A) （B）. (C) . (D) . 例3、（10123） (A) . (B). (C) . (D). 【 】 【答案】 应选(). 【分析】 【详解】 因为 , 所以应选). 题型二、二重积分的基本计算 (1) 利用直角坐标计算 d( =dxdy D: 或 计算二重积分的步骤 (1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分 (4)计算二次积分. 注：计算过程中先化简 例4、（0634）计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 例5、 利用极坐标计算 d( =rdrd( 计算方法同直角坐标，一般先、后，适应于圆形区域或被积函数含有的因子； 极点在区域内： 极点在区域外： （iii）极点在区域的边界上： 例6、（0612）设区域， 计算二重积分 例7、计算，其 D为由圆，及直线， 所围成的平面闭区域. 计算重积分应注意的技巧：利用重积分的对称性简化计算 例8、计算， 例9、计算= 例10、 计算, 其中D: 例11、求，其中D是由圆和所围成的平面区域 . . 例12、计算I=, D: 例13、（利用对称性证明不等式） 设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)0. 证明： 题型三、几类特殊重积分的计算 分片函数的重积分 例14、设求 例15、设，表示不超过 的最大整数. 计算二重积分 2、 含有绝对值的情形 例16、（05234）计算二重积分，其中. 例17、 计算,其中 3、 交换积分次序的情形 例18、计算 题型四、 广义二重积分的计算 例19、 计算广义二重积分, D是第一象限内在曲线y=4x2和y=9x2之间的区域。 [=, 答案：] 例20、 计算 [= 答案： ] 题型五、 利用二重积分计算体积与曲面表面积 例21、 求由曲面所围成的体积V和表面积S [解] , (舍去),所以投影区域为D： 因为S= 所以 = . 题型六、 综合题 例22、设f(x)在[0,a]上连续，证明： ，其中D： 例23、 设函数f(x,y)在区域上有定义，f(0,0)=0，且在(0,0)处f(x,y)可微，求 10