单调和有界变差函数 绝对连续函数.pdfVIP

实变函数论 实变函数论 第22讲 §4 微分与不定积分 一、单调函数 二、有界变差函数 三、绝对连续函数 克服了R积分的三个不足之两个。 能否使积分与微分互逆？ 至此已知，L积分扩大了R可积函数类； 积分与极限交换顺序条件减弱 微分与不定积分 ∵ F (x ) ∫[a ,x ] f (t )dt ∫[a ,x ] f +(t )dt −∫[a ,x ] f −(t )dt 为两个单调不减函数的差 一、单调函数 二、有界变差函数 三、绝对连续函数 一、单调函数 需用到1）法都引理、 2 ）左（上、下）右（上、下）导数、 1、分析性质 3 ）维它利覆盖定理等 (1)单调函数间断点必为第一类，从而至多可数——即a.e.连续 （2）单调函数f ∈R[a ,b ], 从而必有f ∈L[a ,b ]； (3)单调函数f 在[a ,b ]上a e. .可微,即f ′在[a ,b ]上a e. . 存在 （4 ）f ′∈L[a, b] 存在单增函数f,使得 ∫[a ,b ] f ′(x )dx f (b ) −f (a ) （）5 ∫[a ,b ] f ′(x )dx ≤ f (b ) −f (a ) 二、有界变差函数 1、定义 1) 设：f (x )定义在[a ,b ]上，对于[a ,b ]的任一分划 ： a x x x ... x b, Δ = 0 1 2 n n 称 | f (x ) f (x ) |为f 关于分划 的变差，记为V ( ) ∑ i − i−1 Δ f Δ i 1 n 2) 若对于[a, b]的所有分划, {∑| f (x ) −f (x ) |}有界， i i−1 i 1 则称f (x )为[a ,b ]上的有界变差函数，记为 f ∈BV [a ,b ], b 称 sup{V (Δ)}为f ( x)在[ a, b]上的总变差（全变差），记为 V ( f ) f a Δ f ∈BV [a ,b ] ⇔ V b (f )存在有限 a 2、基本性质： 设 f ∈BV [a ,b ],则 b 对于商，需 inf | g (x) | m 0 （） 01 ≤V ( f ) +∞