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湍流的统计平均法湍流的基本方程 李连侠 水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年5月 内容提要 湍流的统计平均法 湍流的随机性 时间平均法 体积平均法 概率平均法 各态历经假设 脉动值及其性质 湍流的基本方程 连续性方程 平均动量方程---雷诺方程 湍流 湍流流动状态在自然界和工程设备中是最常见的一类流动状态。 由雷诺试验我们知道湍流相对于层流而言，是一种复杂的不定常的随机流动。 湍流理论到现在为止尚未达到成熟阶段，人们对于湍流的物理本质还不很清楚，以致要给湍流一词以确切的定义都很困难。 两种研究方法 (1)寻求若干最基本的物理定律以建立普遍适用的湍流理论； (2)在某些特定条件下，对观测到的流动现象作出某些假定，从而建立有局限性的半经验理论。 湍流的统计平均法 统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决定的。 湍流的随机性是湍流的主要的特性。我们首先讨论湍流的随机性，然后讨论统计平均方法。 一、湍流的随机性 人们对于湍流的长期观察，测量，发现随机性是湍流的主要特性。我们将从随机现象的一般概念上对此加以说明。 湍流的瞬时流场的速度场 瞬时流场总是不定常的，但是它又不同于通常所说的不定常流场，不是普通的函数，而是随机函数。随机函数具有以下特性： (1)某一次试验中在空间和时间上的变化是极不规则的；即使保持相同条件作重复试验；每次试验所得到的速度场也均不相同。 (2)在相同条件下进行很多次试验，任意取出其中足够多次的速度场作算术平均，由此所得到的函数与另外任取足够多次的速度场作算术平均而得到的函数趋予一致，即任意一组的算术平均趋于同一个确定的函数。 由上述性质可见，就随机现象而言，虽然个别试验的结果没有规律性，但大量试验结果的算术平均值有一定的规律性。所以说，由随机现象的每一次试验得不到“决定性”的结果，而只有大量试验的统计平均才能给出具有“决定性”的结果。 正因为湍流具有随机性，因此统计方法在湍流问题的研究中具有重要的意义。 在湍流理论中，有三种统计平均方法：时均法，体均法和按概率平均法（或称系综平均法），下面我们将分别予以讨论，然后再进行比较。 在湍流流场的某固定点上，于不同时刻测量该处的速度。以圆管轴上的某一点的轴向流速为例，测出该点速度随时间的变化图13-1所示，图中实线与虚线表示两次试验结果。由图可见，每次试验的速度变化都极不规则，但是两次试验在相当长的时间内的平均值相同。显然，对于具有这种随机性质的湍流采用按时间平均的方法较为合适。 时均法的确切定义是： 均值表达式中的瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下限可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。 关于这一点，我们可以这样来理解。同一次试验中取不同起始时刻，相当于同条件下重复的不同试验，既然不同次试验的平均值都相等，那末不同起始时刻的平均值也应相等。 式中的积分区域，从理论上来说应趋向无限大，但在实用上，只要取足够长的有限时间间隔即可。 最后应当指出，时均法只能用来描述对时均值而言的定常湍流流动。 总之，应用对均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻及时间间隔(只要足够长) 无关；而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动。 三 体均法 湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。若在湍流管流的轴线L段上同时测量各点轴向速度的分布，在不同时刻可以测得不同速度分布，如图13-2所示。实线和虚线是分别在两个时刻测得的结果。由图可见，任一时刻，在轴上的速度分布都是极不规则的，但是若在距离L内求速度的平均值，则任意两次的试验结果有相同的平均值，显然，具有这种随机性质的湍流采用按体积平均的方法较为合适。 一维体均法的确切定义是 是在相同条件下任一次试验的速度分布 是沿x方向L段上的的平均值 x0是任一起始位置，L是足够长的距离。 同理，我们可以定义空间意义上的平均。既体均法 四 概率平均法 时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。 概率平均法的出发点是将重复多次的试验结果做算术平均，即 上式又可写成概率分布的形式。把N次试验中测得的速度Vi 在Vi+△Vi之间的次数记为△ N，若N足够大，则根据概率的定义有 这样式（13-5）可写成 令△Vi?0则上式可写成 五、三种平均法之间的关系及各态遍历假说 前面我们已经介绍了三种平均方法，但时均法和体均法只能用于各自特定的条件，概率平均法虽然普遍适用，但按照这种定义的平均值，很难直接测量（至少在目前还不可能)，因此用这种方法建立的理论不