数学大观园(四)向量.docVIP

数学大观园（四） 向量方法和典型问题 概念篇 （已知 ，） 定义 几何意义 坐标表示 相关性质 向量的模 向量的长度 ，则： 长度为的向量是零向量；零向量的方向是任意的 共线向量 （平行向量） ∥ ∥ 共线向量定理：向量，（）共线的充要条件是：存在唯一实数，使得；零向量和任意非零向量共线。 共面向量 （不共线） 平面向量基本定理： 加法 平行四边形法则 三角形法则 减法 三角形法则 数乘 数量积（内积） 两向量的数量积是一个实数 夹角 特别，当时， ，此时；但反之，不成立。 投影 （在上） 怎样用投影的概念去解释“距离” ？ 线段的中点 若点是线段的中点，则： 线段的定比分点 点在线段所在的直线上（不与重合），且 ，则称点分有向线段所成的比 （1）时，点在线段上；时，点在的延长线上； 时，点在的反向延长线上 （2）三点共线的充要条件是： ，且 三角形的重心 三边中线的交点 （1） （2） 三角形的垂心 三边高线的交点 列方程组解垂心坐标 三角形的内心 三内角平分线的交点 ★利用向量在向量上的投影相等列出关系式 若点在角的平分线上，则 三角形的外心 的外接圆圆心（三边垂直平分线的交点） （其中为垂心） 考题篇（05--09高考题集萃） （Ⅰ）基本运算或判断类 1、（05北京卷）若，且，则向量与的夹角为（A）30°（B）60° （C）120°（D）150° 3、(09山东卷理)设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　） A. B. C. D. （07四川）设，，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为 （ ） （A) (B) (C) (D) （07重庆文）在中，，，是边的中点，则 的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ 　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7、（06北京卷）若与都是非零向量，则“”是“”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （Ⅱ）几何性质类 8、(05湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ 　） A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心 9、（06全国卷I）设平面向量的和。如果向量满足，且顺时针旋转后与同向，则（ ） A． B． C． D． (06陕西卷) 已知非零向量满足且 , 则为( ) 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 11、（07山东）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 12、（09北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合 ，则集合S表示的平面区域是 ( ) A． 三角形区域 B．四边形区域 C． 五边形区域 D．六边形区域 13、（07陕西）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝，若，则的值为 （Ⅲ）范围或最值类 14、（06湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,] B. C. D. （08浙江卷16）已知是平面内的单位向量，若向量满足，则的取值范围是 （09全国卷Ⅰ理）设是单位向量，且，则的最小值为 ( ) （A） （B） （C） (D) 17、（05江苏卷）在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是_______ 18、（09安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.