关系的闭包等价关系-南京大学.PDF

关系的闭包、等价关系 离散数学－关系 南京大学计算机科学与技术系 内容提要  闭包的定义  闭包的计算公式  传递闭包的Warshall算法  等价关系  等价类  划分 关系的闭包：一般概念  设R是集合A上的关系，P是给定的某种性质（如： 自反、对称、传递），满足下列所有条件的关系R1 称为R 的关于P的闭包:  R⊆R1  R1 满足性质P  对于A 上的任意一个关系R’ ，如果R’包含R且满足性质P， 则R ⊆R ’ 1  自反闭包r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包t(R) 自反闭包（reflexive closure ）  设R 的是集合A 上的关系，其自反闭包r(R)也是A 上的关系，且满足：  r(R)满足自反性；  R ⊆r(R);  对A 上的任意关系R ’, 若R ’包含R且满足自反性，则r(R)⊆R ’  例子  令A={1,2,3}, R={(1,1), (1,3), (2,3), (3,2)} 。则r(R)={(1,1), (1,3), (2,3), (3,2), (2,2), (3,3)}。 自反闭包的计算公式  r(R) = R∪I , I 是集合A 上的恒等关系 A A (证明所给表达式满足自反闭包定义中的三条性质) 1. 对任意x ∈A , (x,x) ∈IA , 因此, (x,x) ∈R∪IA 2. R⊆R∪IA 3. 设R ’ 集合A 上的自反关系，且R⊆R ’. 因为自反性，所以I ⊆R ’ , 从而R∪I ⊆R’ . A A 对称闭包 （symmetric closure ）  s(R) = R∪R-1, 这里R-1是R 的逆关系  s(R)是对称的 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  s(R) = (R∪R ) = R ∪(R ) = R ∪R = s(R)  R⊆s(R)  设R ’是集合A 上的对称关系, 并且R⊆R’  R-1 ⊆(R’)-1 =R’  R∪R-1 ⊆R’  因此, s(R) ⊆R ’ 连通关系 *  定义集合A上的“连通”关系R 如下： *  对任意a,b ∈A , a R b 当且仅当：存在t , t …t ∈A (k是正 0 1 k 整数) ，满足t =a, t =b, (t , t ) ∈R, i=1…k 。(可以表述为： 0 k i-1 i 从a到b之间存在长度至少为1的通路)  显然：对任意a,b ∈A , a R* b 当且仅当存在某个正整数k, k 使得aR b 。 ∞ k * 1 2 3 i R  于是：R = R ∪R ∪R ∪…R ∪… =  k