2.3 向量组与矩阵的秩(2010版).pdfVIP

复习引入 上次课，我们学习了线性表示 （线性组合）、 线性相关和线性无关的概念以及相关的定理。 我们知道，利用定义可以判断一个向量组是否 线性相关。 事实上，利用矩阵也可以判断一个向量组是否 线性相关。 为此，我们先来学习向量组与矩阵的秩及它们 之间的关系。 2010年3月26 日星期五 1 目录 上页 下页 返回 2.3 向量组与矩阵的秩 2.3.1 矩阵的秩 2.3.2 向量组的相关概念与定理 2.3.3 本节小结与课外练习 2010年3月26 日星期五 2 目录 上页 下页 返回 2.3.1 矩阵的秩 （1）矩阵的子式的定义（课本P43 ） 在m ×n矩阵A中，任取k行k列（k ≤m，k ≤n）位于, 2 这些行列交叉处的k 个元素，不改变它们在A中所处 的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A的k 阶子式。 a a a 21 25 27 例如， 则 a a a 例如， 设A (aij )8×10 41 45 47 a a a 61 65 67 是A 的一个三阶子式，它由A 的第2，4，6行与第1， 5，7列交叉处的元素所构成。 2010年3月26 日星期五 3 目录 上页 下页 返回 （2 ） 矩阵的秩的定义（课本P43 定义2.6 ） 矩阵A 中有一个不等于零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩 （Rank ），记作 R (A). ⎛1 2 3 ⎞ 例1 （补充题） A ⎜2 3 =−5⎟ 例1 求矩阵的秩 ⎜ ⎟ ⎜⎝4 7 1 ⎟⎠ 1 2 解 ≠0 解 在A 中，容易看出一个2阶子式 2 3 A 的三阶子式只有一个 A 经计算可知 A 0 因此R （A ）=2。 2010年3月26 日星期五 4 目录 上页 下页 返回 特别的， 对于n阶方阵A，如果 A ≠0 则（R A） n 称A为满秩矩阵 否则称A为降秩矩阵 另外，规定零矩阵的秩等于0 显然，如果矩阵A 中有一个