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第三节 一、选择题 1．已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(A　　) A．圆　　　B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线 ∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．故选A. 2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(A　)A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．(0,1] 　[解析]　椭圆方程化为＋＝1.焦点在y轴上，则2，即k1.又k0，∴0k1. 3．P是椭圆＋＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是(A　　) A. B．64(2＋)C．64(2－) D．64 在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20　　　① 由余弦定理知cos60°＝＝＝，即r＋r－r1r2＝144　　　② ①2－②得r1r2＝.∴S△PF1F2＝r1·r2sin60°＝. 4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(ab0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则△PQF面积的最大值是(D　)A.ab　　　B．ab　　　　C．ac　　　　D．bc 设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．S△PQF＝SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.即(S△PQF)max＝bc. 5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的(　　) A．7倍　　　B．5倍C．4倍 D．3倍不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|＝，|PF2|＝，即|PF1|＝7|PF2|. 6．设0≤α2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是(　　) A.∪ B.C. D. [解析]　将方程变形为：＋＝1.∴，∴sinα－cosα0.∴α在第二象限且|sinα||cosα|. 7．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为(　　)A.　 B．3　　C.　　D. [解析]　a2＝16，b2＝9c2＝7c＝.∵△PF1F2为直角三角形．∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1y2＝|y|＝. 8．(2009·江西)过椭圆＋＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D. [解析]　考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±， ∴|PF1|＝∴|PF2|＝，故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴()2＝，即e＝. 9．(2009·山东威海)椭圆＋＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是(　　)A．2 000 B．2 006C．2 007 D．2 008 ∵椭圆＋＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于，不妨|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝，n－12 000，即n2 001.∴故选A. 10．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是(　　) A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y－4＝0 D．x＋2y－8＝0 [解析]　设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2), 中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得＝－，即·＝－，∴k＝＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0. 二、填空题 11．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程是________________＋＝1　由题意设椭圆方程为＋＝1(ab0)．∵|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，∴2a＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b2＝3，∴方程为＋＝1. 12．设F1、F2是椭圆