动点Q到A、B等距离,而且QAB与PAB等积（但不为零）,.docVIP

C5－011 已知线段AB＝2a，动点P对AB的视角为直角，动点Q到A、B等距离，而且△QAB与△PAB等积（但不为零），O点为AB的中点，OP与BQ的延长线相交于M．以O为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，建立坐标系，令∠BOP＝θ，用θ的参数分别求出动点P、Q、M的轨迹的参数方程，并把这些参数方程化为普通方程，指出这三个轨迹各是什么曲线？ 【题说】 1979年江西省赛二试题6． 【解】 1．设P的坐标为（x，y），则P点轨迹的参数方程为 其中0＜θ＜π或π＜θ＜2π． 消去θ得x2＋y2＝a2（y≠0）．所以动点P的轨迹是一个以原点为圆心，以a为半径的圆，A、B两点除外． 2．设Q点坐标为（x，y）．因为QA＝QB，△QAB与△PAB等积，所以Q在y轴上，纵坐标与P同．故参数方程为 普通方程是x＝0（|y|≤1并且y≠0）．即Q的轨迹是圆在y轴上的直径，O点除外． 3．设M点坐标为（x，y），OP的方程为y＝xtanθ，OQ的方程为y＝（a－x）·sinθ．由这两个方程解得 ? C5－012 已知圆的方程为 1．求证：对于任何正数m，圆心都在某条双曲线c上； 2．在双曲线c上求一点，使这点与直线y＝2x＋1的距离最短． 【题说】 1979年黑龙江省赛二试题1． 【解】 1．圆心坐标为 消去参数m．得圆心满足的方程为 x2－4y2＝1（x＞0，y＞0） 它是双曲线方程x2－4y2＝1在第一象限中的半支． 2．设双曲线c的平行于y＝2x＋1的切线方程为y＝2x＋b，代入双曲线方程得 ? 15x2＋16b2x＋4b＋1＝0 由? △＝64b2－15（4b2＋1）＝0 就是双曲线c上与直线y＝2x＋1距离最短的点．? C5－013 在平面上有若干个点．对其中的任两个点A和B都可作一向量 ，而且在每一点，以它为起点和以它为终点的向量个数相等．证明：所有这样组成的向量之和等于0． 【题说】 第十三届（1979年）全苏数学奥林匹克八年级题4． 【证】 选取任意一点O（未必是已知点）．用向量 － 来表示向量 ．在所有向量的和式中，每一个向量 （M是已知点）取正号和负号的个数一样多，所以，所有向量的和为0．? C5－014 在空间经过点O作1979条直线l1，l2，…，l1979，它们中的任何两条不垂直．在l1上取不同于O的任意一点A1．证明：能在li（i＝2，3，…，1979）上分别选择点Ai，满足A1A3⊥l2，A2A4⊥l3，…，Ai－1Ai＋1li，…，A1977A1979⊥l1978，A1978A1⊥l1979，A1979A2⊥l1． 【题说】 第十三届（1979年）全苏数学奥林匹克九年级题7． 【证】 过A1作l2的垂线交l3于点A3，过A3作l4的垂线l5于A5，…，过A1977作l1978的垂线交l1979于A1979，过A1979作l1的垂线交l2于A2，过A2作l3的垂线交l4于A4，…，过A1976作l1977的垂线交l1978于A1978．由于l1，l2，…，l1979两两不垂直，故上述交点总是存在的．题得证．? C5－015 试证：若一个圆的圆心不是有理点，则其圆周上至多只有两个有理点． 【题说】 1980年芜湖市赛题2． 【证】 用反证法．假设圆周上有三个有理点：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）．设圆的方程是 （x－a）2＋（y－b）2＝r2??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （1） 将A、B、C三点坐标代入（1）得， （2）－（3）得： （2）－（4）经整理得： 作为a、b的一次方程组（5）与（6）中系数和常数项都是有理数，故a、b都是有理数，与已知条件不符． 因此，圆周上至多只有两个有理点． C5－017 已知：（1）半圆的直径AB长为2r； （2）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|＝2a（2a＜r/2）； （3）半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件 求证：|AM|＋|AN|＝|AB|． 【题说】 1982年全国联赛题3． 【证】 如图a，取线段TA的中点O为坐标原点，以有向直线TA为x轴，建立平面直角坐标系．则圆的方程为 [x－（r＋a）]2＋y2＝r2 以l为准线的抛物线方程为????????????? y2＝4ax 因M、N均为抛物线与圆的交点，由 得????????????????????????????? x2－2（r－a）x＋2ra＋a＝0 所以，M、N的坐标之和x1＋x2＝2r－2a． 又|AM|＝|PM|＝x1＋a，|AN|＝|QN|＝x2＋a，|AB|＝2r，故 |AM|＋|AN|＝|