工程数学 复变函数的积分3.1精品.pptVIP

其中 ，我们已经证明，在D内，有， 因此 引理1 设f(z)单连通区域D内处处解析，并且在D内有原函数G(z)。如果 ，并且C是D连接 的一条曲线，那么 【证明】注意到函数 是 的一个原函数， 故 典型应用实例 例5 计算积分 因而积分与路径无关，可用分部积分法得 【解】 由于 在复平面内处处解析， 不失一般性，取n＝1进行证明. 有下述定理： 定理3.6 设 L和 为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图3.5所示， 在L内部且彼此不相交，以 和L为边界所围成的闭区域 全含于D．则对于区域D内的解析函数 有 例如本章例3中，当L为以 为中心的正向圆周时： ，根据闭路变形原理，对于包含 的任何一条简单闭曲线 ,都有 成立． 例6 计算 ，其中 为圆周 ，且取正向． 【解】 要注意 在 内只有一个奇点 ，将 分成为 则由闭路变形定理 章  第三章 复变函数的积分 第1节 积分的概念 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变 函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我 们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的 基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基 础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念， 如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称 该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线L 是开口弧段，若规定它的端点P 为起点，Q为终点，则沿曲线 L 从 P 到Q 的方向为曲 线L的正方向（简称正向），把正向曲线记为L或L+. 而 由Q到P的方向称为L的负方向（简称负向），负向曲线记 为 . (2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向． (3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲 线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线 行 走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分 取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向． 复变函数的积分 设在复平面C上有一条连接z0及z两点的简 单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续 函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部. 把曲线C用分点z0 ,z1 ,zn-1, …,zn=z 分成n个更小的弧，在这里分点 是在曲线C上按从z0到Z的次序排列的。 如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式 都存在且唯一， 则称此极限为函数 记作 沿曲线弧C的积分. 分实部与虚部，有 或者 在这里 分别表示 的实部与虚部。 按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C 上的分点个数无穷增加，而且 时，上面的四个式子分别有极限： 这时，我们说原和式有极限 这个极限就是函数f(z)沿曲线C的积分， 因此，我们有 即我们可以把复积分 的计算化为两个 二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把 理解为 则 上式说明了两个问题： (1) 当 是连续函数，且L是光滑曲线时，积分 一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函数的线积分来计算. 如果C是简单光滑曲线： ，并且 ，那么上