MIT-单变量微积分笔记 02精品.pdfVIP

麻省理工学院公开课 MIT OpenCourseWare 18.01 一元微积分Single Variable Calculus 第二单元 微分的应用 Unit 2 Applications of Differentiation 第09 讲 线性和二阶近似 第10 讲 曲线构图 第11 讲 极值问题 第12 讲 相关变率 第13 讲 牛顿迭代法及应用 第14 讲 中值定理及不等式 第15 讲 反导数 第16 讲 微分方程和分离变量 douTintin14 1 第09 讲 线性和二阶近似 Linear and Quadratic Approximations 线性近似 线性近似可以用一个公式概括： f (x ) ≈f (x 0 ) +f ′(x 0 )(x −x 0 ) 假设存在一条曲线 y =f (x) ，那么在曲线的切点上该曲线近似于其切线。公式右 侧就是切线的表达式。 例1 ：f (x)=lnx ，导数公式为f ’(x)=1/x . f (1) ln1 0 1 f ′(1) 1 x x 1 ln x ≈ f (1)+f ′(x0 )(x −1) 0=+1⋅(x −1) x −1 2 y=lnx 1 0 0 1 2 3 4 -1 -2 因此近似公式为lnx ≈x-1。注意仅在切点即x=1 点附近，曲线近似于该切线。 ( ) ′ ∆f x ( )= lim 导数的定义是：f x 0 x →x 0 ∆x ∆f (x ) ′ 逆向看待这个公式就是lim f (x 0 ) x →x 0 ∆x ∆f (x ) ′ 因此在切点附近有 ≈f (x 0 ) 。这和线性近似的公式等价。等式左侧是平均 ∆x 变化率，右侧是无穷小时间的变化率，两者在切点附近基本相等。 ∆f (x ) ′ 证明 ≈f